Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28756 / 43747
↖ ↑ ↗
← S 51.518998°
W 22.038574°		 ← 380.07 m → S 51.518998°
W 22.033081°		 →
↑
380.09 m
↓
↑
380.09 m
↓
S 51.522416°
W 22.038574°		 ← 380.04 m →
144 455 m²		 S 51.522416°
W 22.033081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438789367675781 y=0.667533874511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438789367675781 × 216)
    floor (0.438789367675781 × 65536)
    floor (28756.5)     		tx = 28756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667533874511719 × 216)
    floor (0.667533874511719 × 65536)
    floor (43747.5)     		ty = 43747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28756 / 43747 ti = "16/28756/43747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28756/43747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28756 ÷ 216
    28756 ÷ 65536     		x = 0.43878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43747 ÷ 216
    43747 ÷ 65536     		y = 0.667526245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43878173828125 × 2 - 1) × π
    -0.1224365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38464568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667526245117188 × 2 - 1) × π
    -0.335052490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05259844185719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38464568} λ = -0.38464568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05259844185719))-π/2
    2×atan(0.349029636566234)-π/2
    2×0.335810091656695-π/2
    0.67162018331339-1.57079632675     		φ = -0.89917614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38464568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.038574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89917614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.518998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28756 KachelY 43747 -0.38464568 -0.89917614 -22.038574 -51.518998
    Oben rechts KachelX + 1 28757 KachelY 43747 -0.38454981 -0.89917614 -22.033081 -51.518998
    Unten links KachelX 28756 KachelY + 1 43748 -0.38464568 -0.89923580 -22.038574 -51.522416
    Unten rechts KachelX + 1 28757 KachelY + 1 43748 -0.38454981 -0.89923580 -22.033081 -51.522416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89917614--0.89923580) × R
    5.96600000000169e-05 × 6371000     		dl = 380.093860000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89917614--0.89923580) × R
    5.96600000000169e-05 × 6371000     		dr = 380.093860000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38464568--0.38454981) × cos(-0.89917614) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.622255108948015 × 6371000     		do = 380.065810365457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38464568--0.38454981) × cos(-0.89923580) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.622208405126124 × 6371000     		du = 380.037284242234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89917614)-sin(-0.89923580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622255108948015-0.622208405126124)×R²
    abs(-0.38454981--0.38464568)×4.67038218906479e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67038218906479e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67038218906479e-05×40589641000000     		ar = 144455.259656712m²