Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28756 / 40497
↖ ↑ ↗
← S 39.031986°
W 22.038574°		 ← 474.46 m → S 39.031986°
W 22.033081°		 →
↑
474.45 m
↓
↑
474.45 m
↓
S 39.036253°
W 22.038574°		 ← 474.43 m →
225 098 m²		 S 39.036253°
W 22.033081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438789367675781 y=0.617942810058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438789367675781 × 216)
    floor (0.438789367675781 × 65536)
    floor (28756.5)     		tx = 28756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617942810058594 × 216)
    floor (0.617942810058594 × 65536)
    floor (40497.5)     		ty = 40497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28756 / 40497 ti = "16/28756/40497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28756/40497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28756 ÷ 216
    28756 ÷ 65536     		x = 0.43878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40497 ÷ 216
    40497 ÷ 65536     		y = 0.617935180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43878173828125 × 2 - 1) × π
    -0.1224365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38464568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617935180664062 × 2 - 1) × π
    -0.235870361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.741008594326828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38464568} λ = -0.38464568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.741008594326828))-π/2
    2×atan(0.476632943726074)-π/2
    2×0.444779828508704-π/2
    0.889559657017409-1.57079632675     		φ = -0.68123667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38464568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.038574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68123667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.031986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28756 KachelY 40497 -0.38464568 -0.68123667 -22.038574 -39.031986
    Oben rechts KachelX + 1 28757 KachelY 40497 -0.38454981 -0.68123667 -22.033081 -39.031986
    Unten links KachelX 28756 KachelY + 1 40498 -0.38464568 -0.68131114 -22.038574 -39.036253
    Unten rechts KachelX + 1 28757 KachelY + 1 40498 -0.38454981 -0.68131114 -22.033081 -39.036253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68123667--0.68131114) × R
    7.44700000000487e-05 × 6371000     		dl = 474.44837000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68123667--0.68131114) × R
    7.44700000000487e-05 × 6371000     		dr = 474.44837000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38464568--0.38454981) × cos(-0.68123667) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776794514888733 × 6371000     		do = 474.456589497111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38464568--0.38454981) × cos(-0.68131114) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776747614943721 × 6371000     		du = 474.427943584284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68123667)-sin(-0.68131114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776794514888733-0.776747614943721)×R²
    abs(-0.38454981--0.38464568)×4.68999450118357e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68999450118357e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68999450118357e-05×40589641000000     		ar = 225098.360123407m²