Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28755 / 42903
↖ ↑ ↗
← S 48.542069°
W 22.044068°		 ← 404.43 m → S 48.542069°
W 22.038574°		 →
↑
404.37 m
↓
↑
404.37 m
↓
S 48.545706°
W 22.044068°		 ← 404.40 m →
163 531 m²		 S 48.545706°
W 22.038574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438774108886719 y=0.654655456542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438774108886719 × 216)
    floor (0.438774108886719 × 65536)
    floor (28755.5)     		tx = 28755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654655456542969 × 216)
    floor (0.654655456542969 × 65536)
    floor (42903.5)     		ty = 42903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28755 / 42903 ti = "16/28755/42903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28755/42903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28755 ÷ 216
    28755 ÷ 65536     		x = 0.438766479492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42903 ÷ 216
    42903 ÷ 65536     		y = 0.654647827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438766479492188 × 2 - 1) × π
    -0.122467041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38474156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654647827148438 × 2 - 1) × π
    -0.309295654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.971680955298538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38474156} λ = -0.38474156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971680955298538))-π/2
    2×atan(0.378446351732496)-π/2
    2×0.361788700579429-π/2
    0.723577401158858-1.57079632675     		φ = -0.84721893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38474156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.044068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84721893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.542069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28755 KachelY 42903 -0.38474156 -0.84721893 -22.044068 -48.542069
    Oben rechts KachelX + 1 28756 KachelY 42903 -0.38464568 -0.84721893 -22.038574 -48.542069
    Unten links KachelX 28755 KachelY + 1 42904 -0.38474156 -0.84728240 -22.044068 -48.545706
    Unten rechts KachelX + 1 28756 KachelY + 1 42904 -0.38464568 -0.84728240 -22.038574 -48.545706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84721893--0.84728240) × R
    6.34699999999544e-05 × 6371000     		dl = 404.367369999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84721893--0.84728240) × R
    6.34699999999544e-05 × 6371000     		dr = 404.367369999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38474156--0.38464568) × cos(-0.84721893) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.662069954319204 × 6371000     		do = 404.426411459387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38474156--0.38464568) × cos(-0.84728240) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.662022385899222 × 6371000     		du = 404.39735421964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84721893)-sin(-0.84728240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662069954319204-0.662022385899222)×R²
    abs(-0.38464568--0.38474156)×4.75684199824356e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75684199824356e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75684199824356e-05×40589641000000     		ar = 163530.969515154m²