Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28754 / 28662
↖ ↑ ↗
← N 70.621729°
W101.024780°		 ← 101.34 m → N 70.621729°
W101.022033°		 →
↑
101.30 m
↓
↑
101.30 m
↓
N 70.620818°
W101.024780°		 ← 101.35 m →
10 266 m²		 N 70.620818°
W101.022033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219379425048828 y=0.218677520751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219379425048828 × 217)
    floor (0.219379425048828 × 131072)
    floor (28754.5)     		tx = 28754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218677520751953 × 217)
    floor (0.218677520751953 × 131072)
    floor (28662.5)     		ty = 28662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28754 / 28662 ti = "17/28754/28662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28754/28662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28754 ÷ 217
    28754 ÷ 131072     		x = 0.219375610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28662 ÷ 217
    28662 ÷ 131072     		y = 0.218673706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219375610351562 × 2 - 1) × π
    -0.561248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76321504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218673706054688 × 2 - 1) × π
    0.562652587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76762523658995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76321504} λ = -1.76321504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76762523658995))-π/2
    2×atan(5.85692801488023)-π/2
    2×1.40168901544896-π/2
    2.80337803089792-1.57079632675     		φ = 1.23258170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76321504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.024780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23258170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.621729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28754 KachelY 28662 -1.76321504 1.23258170 -101.024780 70.621729
    Oben rechts KachelX + 1 28755 KachelY 28662 -1.76316710 1.23258170 -101.022033 70.621729
    Unten links KachelX 28754 KachelY + 1 28663 -1.76321504 1.23256580 -101.024780 70.620818
    Unten rechts KachelX + 1 28755 KachelY + 1 28663 -1.76316710 1.23256580 -101.022033 70.620818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23258170-1.23256580) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dl = 101.29889999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23258170-1.23256580) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dr = 101.29889999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76321504--1.76316710) × cos(1.23258170) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331803392611697 × 6371000     		do = 101.341296722872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76321504--1.76316710) × cos(1.23256580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331818391811884 × 6371000     		du = 101.345877864688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23258170)-sin(1.23256580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331803392611697-0.331818391811884)×R²
    abs(-1.76316710--1.76321504)×1.49992001869381e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49992001869381e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49992001869381e-05×40589641000000     		ar = 10265.993914997m²