Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28754 / 22622
↖ ↑ ↗
← N 48.582059°
W 22.049561°		 ← 404.06 m → N 48.582059°
W 22.044068°		 →
↑
404.11 m
↓
↑
404.11 m
↓
N 48.578424°
W 22.049561°		 ← 404.09 m →
163 293 m²		 N 48.578424°
W 22.044068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438758850097656 y=0.345191955566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438758850097656 × 216)
    floor (0.438758850097656 × 65536)
    floor (28754.5)     		tx = 28754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345191955566406 × 216)
    floor (0.345191955566406 × 65536)
    floor (22622.5)     		ty = 22622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28754 / 22622 ti = "16/28754/22622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28754/22622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28754 ÷ 216
    28754 ÷ 65536     		x = 0.438751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22622 ÷ 216
    22622 ÷ 65536     		y = 0.345184326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438751220703125 × 2 - 1) × π
    -0.12249755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38483743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345184326171875 × 2 - 1) × π
    0.30963134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.972735567090179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38483743} λ = -0.38483743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.972735567090179))-π/2
    2×atan(2.64517061271023)-π/2
    2×1.2093566016511-π/2
    2.41871320330221-1.57079632675     		φ = 0.84791688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38483743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.049561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84791688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.582059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28754 KachelY 22622 -0.38483743 0.84791688 -22.049561 48.582059
    Oben rechts KachelX + 1 28755 KachelY 22622 -0.38474156 0.84791688 -22.044068 48.582059
    Unten links KachelX 28754 KachelY + 1 22623 -0.38483743 0.84785345 -22.049561 48.578424
    Unten rechts KachelX + 1 28755 KachelY + 1 22623 -0.38474156 0.84785345 -22.044068 48.578424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84791688-0.84785345) × R
    6.34299999999755e-05 × 6371000     		dl = 404.112529999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84791688-0.84785345) × R
    6.34299999999755e-05 × 6371000     		dr = 404.112529999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38483743--0.38474156) × cos(0.84791688) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661546720029414 × 6371000     		do = 404.064645877571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38483743--0.38474156) × cos(0.84785345) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661594285106235 × 6371000     		du = 404.093698044773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84791688)-sin(0.84785345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661546720029414-0.661594285106235)×R²
    abs(-0.38474156--0.38483743)×4.75650768212432e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75650768212432e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75650768212432e-05×40589641000000     		ar = 163293.456556177m²