Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28751 / 43637
↖ ↑ ↗
← S 51.141448°
W 22.066040°		 ← 383.21 m → S 51.141448°
W 22.060547°		 →
↑
383.22 m
↓
↑
383.22 m
↓
S 51.144894°
W 22.066040°		 ← 383.18 m →
146 846 m²		 S 51.144894°
W 22.060547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438713073730469 y=0.665855407714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438713073730469 × 216)
    floor (0.438713073730469 × 65536)
    floor (28751.5)     		tx = 28751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665855407714844 × 216)
    floor (0.665855407714844 × 65536)
    floor (43637.5)     		ty = 43637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28751 / 43637 ti = "16/28751/43637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28751/43637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28751 ÷ 216
    28751 ÷ 65536     		x = 0.438705444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43637 ÷ 216
    43637 ÷ 65536     		y = 0.665847778320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438705444335938 × 2 - 1) × π
    -0.122589111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38512505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665847778320312 × 2 - 1) × π
    -0.331695556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.04205232394078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38512505} λ = -0.38512505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04205232394078))-π/2
    2×atan(0.35273002232553)-π/2
    2×0.339104837249435-π/2
    0.678209674498871-1.57079632675     		φ = -0.89258665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38512505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.066040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89258665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.141448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28751 KachelY 43637 -0.38512505 -0.89258665 -22.066040 -51.141448
    Oben rechts KachelX + 1 28752 KachelY 43637 -0.38502918 -0.89258665 -22.060547 -51.141448
    Unten links KachelX 28751 KachelY + 1 43638 -0.38512505 -0.89264680 -22.066040 -51.144894
    Unten rechts KachelX + 1 28752 KachelY + 1 43638 -0.38502918 -0.89264680 -22.060547 -51.144894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89258665--0.89264680) × R
    6.01499999999255e-05 × 6371000     		dl = 383.215649999526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89258665--0.89264680) × R
    6.01499999999255e-05 × 6371000     		dr = 383.215649999526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38512505--0.38502918) × cos(-0.89258665) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.627399910558702 × 6371000     		do = 383.208192268341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38512505--0.38502918) × cos(-0.89264680) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.627353070786291 × 6371000     		du = 383.179583108202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89258665)-sin(-0.89264680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627399910558702-0.627353070786291)×R²
    abs(-0.38502918--0.38512505)×4.68397724113778e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68397724113778e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68397724113778e-05×40589641000000     		ar = 146845.89479076m²