Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28751 / 22027
↖ ↑ ↗
← N 50.698197°
W 22.066040°		 ← 386.88 m → N 50.698197°
W 22.060547°		 →
↑
386.91 m
↓
↑
386.91 m
↓
N 50.694718°
W 22.066040°		 ← 386.90 m →
149 692 m²		 N 50.694718°
W 22.060547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438713073730469 y=0.336112976074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438713073730469 × 216)
    floor (0.438713073730469 × 65536)
    floor (28751.5)     		tx = 28751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336112976074219 × 216)
    floor (0.336112976074219 × 65536)
    floor (22027.5)     		ty = 22027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28751 / 22027 ti = "16/28751/22027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28751/22027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28751 ÷ 216
    28751 ÷ 65536     		x = 0.438705444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22027 ÷ 216
    22027 ÷ 65536     		y = 0.336105346679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438705444335938 × 2 - 1) × π
    -0.122589111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38512505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336105346679688 × 2 - 1) × π
    0.327789306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02978047763805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38512505} λ = -0.38512505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02978047763805))-π/2
    2×atan(2.8004510055979)-π/2
    2×1.22782339781983-π/2
    2.45564679563967-1.57079632675     		φ = 0.88485047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38512505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.066040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88485047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.698197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28751 KachelY 22027 -0.38512505 0.88485047 -22.066040 50.698197
    Oben rechts KachelX + 1 28752 KachelY 22027 -0.38502918 0.88485047 -22.060547 50.698197
    Unten links KachelX 28751 KachelY + 1 22028 -0.38512505 0.88478974 -22.066040 50.694718
    Unten rechts KachelX + 1 28752 KachelY + 1 22028 -0.38502918 0.88478974 -22.060547 50.694718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88485047-0.88478974) × R
    6.07299999999533e-05 × 6371000     		dl = 386.910829999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88485047-0.88478974) × R
    6.07299999999533e-05 × 6371000     		dr = 386.910829999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38512505--0.38502918) × cos(0.88485047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63340521791608 × 6371000     		do = 386.876160557318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38512505--0.38502918) × cos(0.88478974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.633452210853778 × 6371000     		du = 386.90486326894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88485047)-sin(0.88478974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63340521791608-0.633452210853778)×R²
    abs(-0.38502918--0.38512505)×4.69929376980538e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69929376980538e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69929376980538e-05×40589641000000     		ar = 149692.129129405m²