Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28749 / 4531
↖ ↑ ↗
← N 78.235718°
E135.845948°		 ← 249.06 m → N 78.235718°
E135.856933°		 →
↑
249.04 m
↓
↑
249.04 m
↓
N 78.233478°
E135.845948°		 ← 249.11 m →
62 033 m²		 N 78.233478°
E135.856933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877365112304688 y=0.138290405273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877365112304688 × 215)
    floor (0.877365112304688 × 32768)
    floor (28749.5)     		tx = 28749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138290405273438 × 215)
    floor (0.138290405273438 × 32768)
    floor (4531.5)     		ty = 4531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28749 / 4531 ti = "15/28749/4531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28749/4531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28749 ÷ 215
    28749 ÷ 32768     		x = 0.877349853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4531 ÷ 215
    4531 ÷ 32768     		y = 0.138275146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.877349853515625 × 2 - 1) × π
    0.75469970703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.37095906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138275146484375 × 2 - 1) × π
    0.72344970703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2727842847861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37095906} λ = 2.37095906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2727842847861))-π/2
    2×atan(9.70638857587071)-π/2
    2×1.46813360013974-π/2
    2.93626720027948-1.57079632675     		φ = 1.36547087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37095906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.845948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36547087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.235718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28749 KachelY 4531 2.37095906 1.36547087 135.845948 78.235718
    Oben rechts KachelX + 1 28750 KachelY 4531 2.37115080 1.36547087 135.856933 78.235718
    Unten links KachelX 28749 KachelY + 1 4532 2.37095906 1.36543178 135.845948 78.233478
    Unten rechts KachelX + 1 28750 KachelY + 1 4532 2.37115080 1.36543178 135.856933 78.233478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36547087-1.36543178) × R
    3.90900000000194e-05 × 6371000     		dl = 249.042390000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36547087-1.36543178) × R
    3.90900000000194e-05 × 6371000     		dr = 249.042390000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37095906-2.37115080) × cos(1.36547087) × R
    0.000191739999999996 × 0.20388579116805 × 6371000     		do = 249.061895444432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37095906-2.37115080) × cos(1.36543178) × R
    0.000191739999999996 × 0.203924059914323 × 6371000     		du = 249.108643608827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36547087)-sin(1.36543178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20388579116805-0.203924059914323)×R²
    abs(2.37115080-2.37095906)×3.82687462736619e-05×R²
    0.000191739999999996×3.82687462736619e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.82687462736619e-05×40589641000000     		ar = 62032.7908445388m²