Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28749 / 43645
↖ ↑ ↗
← S 51.169011°
W 22.077026°		 ← 382.98 m → S 51.169011°
W 22.071533°		 →
↑
382.96 m
↓
↑
382.96 m
↓
S 51.172455°
W 22.077026°		 ← 382.95 m →
146 661 m²		 S 51.172455°
W 22.071533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438682556152344 y=0.665977478027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438682556152344 × 216)
    floor (0.438682556152344 × 65536)
    floor (28749.5)     		tx = 28749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665977478027344 × 216)
    floor (0.665977478027344 × 65536)
    floor (43645.5)     		ty = 43645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28749 / 43645 ti = "16/28749/43645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28749/43645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28749 ÷ 216
    28749 ÷ 65536     		x = 0.438674926757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43645 ÷ 216
    43645 ÷ 65536     		y = 0.665969848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438674926757812 × 2 - 1) × π
    -0.122650146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38531680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665969848632812 × 2 - 1) × π
    -0.331939697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.0428193143347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38531680} λ = -0.38531680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0428193143347))-π/2
    2×atan(0.352459585511236)-π/2
    2×0.338864304243844-π/2
    0.677728608487688-1.57079632675     		φ = -0.89306772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38531680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.077026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89306772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.169011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28749 KachelY 43645 -0.38531680 -0.89306772 -22.077026 -51.169011
    Oben rechts KachelX + 1 28750 KachelY 43645 -0.38522093 -0.89306772 -22.071533 -51.169011
    Unten links KachelX 28749 KachelY + 1 43646 -0.38531680 -0.89312783 -22.077026 -51.172455
    Unten rechts KachelX + 1 28750 KachelY + 1 43646 -0.38522093 -0.89312783 -22.071533 -51.172455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89306772--0.89312783) × R
    6.01099999999466e-05 × 6371000     		dl = 382.96080999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89306772--0.89312783) × R
    6.01099999999466e-05 × 6371000     		dr = 382.96080999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38531680--0.38522093) × cos(-0.89306772) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.627025230105 × 6371000     		do = 382.979342029561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38531680--0.38522093) × cos(-0.89312783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626978403345483 × 6371000     		du = 382.95074081754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89306772)-sin(-0.89312783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627025230105-0.626978403345483)×R²
    abs(-0.38522093--0.38531680)×4.68267595169491e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68267595169491e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68267595169491e-05×40589641000000     		ar = 146660.602509172m²