Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28747 / 4497
↖ ↑ ↗
← N 78.311634°
E135.823975°		 ← 247.49 m → N 78.311634°
E135.834961°		 →
↑
247.51 m
↓
↑
247.51 m
↓
N 78.309408°
E135.823975°		 ← 247.54 m →
61 263 m²		 N 78.309408°
E135.834961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877304077148438 y=0.137252807617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877304077148438 × 215)
    floor (0.877304077148438 × 32768)
    floor (28747.5)     		tx = 28747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137252807617188 × 215)
    floor (0.137252807617188 × 32768)
    floor (4497.5)     		ty = 4497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28747 / 4497 ti = "15/28747/4497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28747/4497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28747 ÷ 215
    28747 ÷ 32768     		x = 0.877288818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4497 ÷ 215
    4497 ÷ 32768     		y = 0.137237548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.877288818359375 × 2 - 1) × π
    0.75457763671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.37057556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137237548828125 × 2 - 1) × π
    0.72552490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27930370313443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37057556} λ = 2.37057556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27930370313443))-π/2
    2×atan(9.76987530706477)-π/2
    2×1.46879609190002-π/2
    2.93759218380004-1.57079632675     		φ = 1.36679586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37057556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.823975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36679586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.311634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28747 KachelY 4497 2.37057556 1.36679586 135.823975 78.311634
    Oben rechts KachelX + 1 28748 KachelY 4497 2.37076731 1.36679586 135.834961 78.311634
    Unten links KachelX 28747 KachelY + 1 4498 2.37057556 1.36675701 135.823975 78.309408
    Unten rechts KachelX + 1 28748 KachelY + 1 4498 2.37076731 1.36675701 135.834961 78.309408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36679586-1.36675701) × R
    3.88500000001457e-05 × 6371000     		dl = 247.513350000928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36679586-1.36675701) × R
    3.88500000001457e-05 × 6371000     		dr = 247.513350000928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37057556-2.37076731) × cos(1.36679586) × R
    0.000191750000000379 × 0.202588454415308 × 6371000     		do = 247.490007511066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37057556-2.37076731) × cos(1.36675701) × R
    0.000191750000000379 × 0.202626498667552 × 6371000     		du = 247.536483862844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36679586)-sin(1.36675701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202588454415308-0.202626498667552)×R²
    abs(2.37076731-2.37057556)×3.80442522441571e-05×R²
    0.000191750000000379×3.80442522441571e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.80442522441571e-05×40589641000000     		ar = 61262.8326172217m²