Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28747 / 43642
↖ ↑ ↗
← S 51.158677°
W 22.088013°		 ← 383.11 m → S 51.158677°
W 22.082519°		 →
↑
383.09 m
↓
↑
383.09 m
↓
S 51.162122°
W 22.088013°		 ← 383.08 m →
146 758 m²		 S 51.162122°
W 22.082519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438652038574219 y=0.665931701660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438652038574219 × 216)
    floor (0.438652038574219 × 65536)
    floor (28747.5)     		tx = 28747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665931701660156 × 216)
    floor (0.665931701660156 × 65536)
    floor (43642.5)     		ty = 43642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28747 / 43642 ti = "16/28747/43642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28747/43642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28747 ÷ 216
    28747 ÷ 65536     		x = 0.438644409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43642 ÷ 216
    43642 ÷ 65536     		y = 0.665924072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438644409179688 × 2 - 1) × π
    -0.122711181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38550855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665924072265625 × 2 - 1) × π
    -0.33184814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04253169293698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38550855} λ = -0.38550855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04253169293698))-π/2
    2×atan(0.352560975010056)-π/2
    2×0.338954487282772-π/2
    0.677908974565544-1.57079632675     		φ = -0.89288735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38550855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.088013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89288735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.158677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28747 KachelY 43642 -0.38550855 -0.89288735 -22.088013 -51.158677
    Oben rechts KachelX + 1 28748 KachelY 43642 -0.38541267 -0.89288735 -22.082519 -51.158677
    Unten links KachelX 28747 KachelY + 1 43643 -0.38550855 -0.89294748 -22.088013 -51.162122
    Unten rechts KachelX + 1 28748 KachelY + 1 43643 -0.38541267 -0.89294748 -22.082519 -51.162122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89288735--0.89294748) × R
    6.01300000000471e-05 × 6371000     		dl = 383.0882300003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89288735--0.89294748) × R
    6.01300000000471e-05 × 6371000     		dr = 383.0882300003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38550855--0.38541267) × cos(-0.89288735) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.627165727944857 × 6371000     		do = 383.105113120364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38550855--0.38541267) × cos(-0.89294748) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.62711889240561 × 6371000     		du = 383.076503561899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89288735)-sin(-0.89294748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627165727944857-0.62711889240561)×R²
    abs(-0.38541267--0.38550855)×4.68355392468922e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.68355392468922e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.68355392468922e-05×40589641000000     		ar = 146757.579741193m²