Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28746 / 43589
↖ ↑ ↗
← S 50.975724°
W 22.093506°		 ← 384.58 m → S 50.975724°
W 22.088013°		 →
↑
384.55 m
↓
↑
384.55 m
↓
S 50.979182°
W 22.093506°		 ← 384.55 m →
147 887 m²		 S 50.979182°
W 22.088013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438636779785156 y=0.665122985839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438636779785156 × 216)
    floor (0.438636779785156 × 65536)
    floor (28746.5)     		tx = 28746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665122985839844 × 216)
    floor (0.665122985839844 × 65536)
    floor (43589.5)     		ty = 43589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28746 / 43589 ti = "16/28746/43589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28746/43589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28746 ÷ 216
    28746 ÷ 65536     		x = 0.438629150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43589 ÷ 216
    43589 ÷ 65536     		y = 0.665115356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438629150390625 × 2 - 1) × π
    -0.12274169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38560442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665115356445312 × 2 - 1) × π
    -0.330230712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03745038157726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38560442} λ = -0.38560442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03745038157726))-π/2
    2×atan(0.354357006330127)-π/2
    2×0.340551054073416-π/2
    0.681102108146832-1.57079632675     		φ = -0.88969422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38560442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.093506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88969422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.975724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28746 KachelY 43589 -0.38560442 -0.88969422 -22.093506 -50.975724
    Oben rechts KachelX + 1 28747 KachelY 43589 -0.38550855 -0.88969422 -22.088013 -50.975724
    Unten links KachelX 28746 KachelY + 1 43590 -0.38560442 -0.88975458 -22.093506 -50.979182
    Unten rechts KachelX + 1 28747 KachelY + 1 43590 -0.38550855 -0.88975458 -22.088013 -50.979182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88969422--0.88975458) × R
    6.03599999999815e-05 × 6371000     		dl = 384.553559999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88969422--0.88975458) × R
    6.03599999999815e-05 × 6371000     		dr = 384.553559999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38560442--0.38550855) × cos(-0.88969422) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.629649610143498 × 6371000     		do = 384.582281260908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38560442--0.38550855) × cos(-0.88975458) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.62960271656501 × 6371000     		du = 384.553639236676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88969422)-sin(-0.88975458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629649610143498-0.62960271656501)×R²
    abs(-0.38550855--0.38560442)×4.68935784874169e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68935784874169e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68935784874169e-05×40589641000000     		ar = 147886.978220477m²