Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28746 / 28349
↖ ↑ ↗
← N 70.904964°
W101.046753°		 ← 99.92 m → N 70.904964°
W101.044006°		 →
↑
99.90 m
↓
↑
99.90 m
↓
N 70.904066°
W101.046753°		 ← 99.92 m →
9 982 m²		 N 70.904066°
W101.044006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219318389892578 y=0.216289520263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219318389892578 × 217)
    floor (0.219318389892578 × 131072)
    floor (28746.5)     		tx = 28746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216289520263672 × 217)
    floor (0.216289520263672 × 131072)
    floor (28349.5)     		ty = 28349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28746 / 28349 ti = "17/28746/28349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28746/28349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28746 ÷ 217
    28746 ÷ 131072     		x = 0.219314575195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28349 ÷ 217
    28349 ÷ 131072     		y = 0.216285705566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219314575195312 × 2 - 1) × π
    -0.561370849609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.76359854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216285705566406 × 2 - 1) × π
    0.567428588867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.78262948617103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76359854} λ = -1.76359854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78262948617103))-π/2
    2×atan(5.94546941211936)-π/2
    2×1.40416070201881-π/2
    2.80832140403762-1.57079632675     		φ = 1.23752508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76359854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.046753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23752508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.904964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28746 KachelY 28349 -1.76359854 1.23752508 -101.046753 70.904964
    Oben rechts KachelX + 1 28747 KachelY 28349 -1.76355060 1.23752508 -101.044006 70.904964
    Unten links KachelX 28746 KachelY + 1 28350 -1.76359854 1.23750940 -101.046753 70.904066
    Unten rechts KachelX + 1 28747 KachelY + 1 28350 -1.76355060 1.23750940 -101.044006 70.904066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23752508-1.23750940) × R
    1.56799999999624e-05 × 6371000     		dl = 99.8972799997604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23752508-1.23750940) × R
    1.56799999999624e-05 × 6371000     		dr = 99.8972799997604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76359854--1.76355060) × cos(1.23752508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327136027059797 × 6371000     		do = 99.9157631453329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76359854--1.76355060) × cos(1.23750940) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327150844263 × 6371000     		du = 99.920288700586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23752508)-sin(1.23750940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327136027059797-0.327150844263)×R²
    abs(-1.76355060--1.76359854)×1.48172032033989e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48172032033989e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48172032033989e-05×40589641000000     		ar = 9981.53901268144m²