Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28741 / 43527
↖ ↑ ↗
← S 50.760784°
W 22.120972°		 ← 386.36 m → S 50.760784°
W 22.115479°		 →
↑
386.40 m
↓
↑
386.40 m
↓
S 50.764259°
W 22.120972°		 ← 386.33 m →
149 284 m²		 S 50.764259°
W 22.115479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438560485839844 y=0.664176940917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438560485839844 × 216)
    floor (0.438560485839844 × 65536)
    floor (28741.5)     		tx = 28741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664176940917969 × 216)
    floor (0.664176940917969 × 65536)
    floor (43527.5)     		ty = 43527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28741 / 43527 ti = "16/28741/43527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28741/43527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28741 ÷ 216
    28741 ÷ 65536     		x = 0.438552856445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43527 ÷ 216
    43527 ÷ 65536     		y = 0.664169311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438552856445312 × 2 - 1) × π
    -0.122894287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38608379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664169311523438 × 2 - 1) × π
    -0.328338623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03150620602437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38608379} λ = -0.38608379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03150620602437))-π/2
    2×atan(0.35646963929425)-π/2
    2×0.342426751165801-π/2
    0.684853502331602-1.57079632675     		φ = -0.88594282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38608379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.120972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88594282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.760784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28741 KachelY 43527 -0.38608379 -0.88594282 -22.120972 -50.760784
    Oben rechts KachelX + 1 28742 KachelY 43527 -0.38598792 -0.88594282 -22.115479 -50.760784
    Unten links KachelX 28741 KachelY + 1 43528 -0.38608379 -0.88600347 -22.120972 -50.764259
    Unten rechts KachelX + 1 28742 KachelY + 1 43528 -0.38598792 -0.88600347 -22.115479 -50.764259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88594282--0.88600347) × R
    6.06499999999954e-05 × 6371000     		dl = 386.401149999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88594282--0.88600347) × R
    6.06499999999954e-05 × 6371000     		dr = 386.401149999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38608379--0.38598792) × cos(-0.88594282) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.632559557599827 × 6371000     		do = 386.359641578576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38608379--0.38598792) × cos(-0.88600347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.632512582300562 × 6371000     		du = 386.330949640293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88594282)-sin(-0.88600347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632559557599827-0.632512582300562)×R²
    abs(-0.38598792--0.38608379)×4.69752992652284e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69752992652284e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69752992652284e-05×40589641000000     		ar = 149284.266566053m²