Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28740 / 4581
↖ ↑ ↗
← N 78.123193°
E135.747070°		 ← 251.41 m → N 78.123193°
E135.758056°		 →
↑
251.40 m
↓
↑
251.40 m
↓
N 78.120932°
E135.747070°		 ← 251.46 m →
63 210 m²		 N 78.120932°
E135.758056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877090454101562 y=0.139816284179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877090454101562 × 215)
    floor (0.877090454101562 × 32768)
    floor (28740.5)     		tx = 28740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139816284179688 × 215)
    floor (0.139816284179688 × 32768)
    floor (4581.5)     		ty = 4581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28740 / 4581 ti = "15/28740/4581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28740/4581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28740 ÷ 215
    28740 ÷ 32768     		x = 0.8770751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4581 ÷ 215
    4581 ÷ 32768     		y = 0.139801025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8770751953125 × 2 - 1) × π
    0.754150390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.36923333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139801025390625 × 2 - 1) × π
    0.72039794921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26319690486209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36923333} λ = 2.36923333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26319690486209))-π/2
    2×atan(9.61377441388921)-π/2
    2×1.46715163435895-π/2
    2.93430326871791-1.57079632675     		φ = 1.36350694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36923333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.747070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36350694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.123193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28740 KachelY 4581 2.36923333 1.36350694 135.747070 78.123193
    Oben rechts KachelX + 1 28741 KachelY 4581 2.36942507 1.36350694 135.758056 78.123193
    Unten links KachelX 28740 KachelY + 1 4582 2.36923333 1.36346748 135.747070 78.120932
    Unten rechts KachelX + 1 28741 KachelY + 1 4582 2.36942507 1.36346748 135.758056 78.120932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36350694-1.36346748) × R
    3.94599999999912e-05 × 6371000     		dl = 251.399659999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36350694-1.36346748) × R
    3.94599999999912e-05 × 6371000     		dr = 251.399659999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36923333-2.36942507) × cos(1.36350694) × R
    0.000191739999999996 × 0.205808073758901 × 6371000     		do = 251.410108838384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36923333-2.36942507) × cos(1.36346748) × R
    0.000191739999999996 × 0.205846688853785 × 6371000     		du = 251.457280093769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36350694)-sin(1.36346748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205808073758901-0.205846688853785)×R²
    abs(2.36942507-2.36923333)×3.86150948838704e-05×R²
    0.000191739999999996×3.86150948838704e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.86150948838704e-05×40589641000000     		ar = 63210.3453098375m²