Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28740 / 43492
↖ ↑ ↗
← S 50.639010°
W 22.126465°		 ← 387.36 m → S 50.639010°
W 22.120972°		 →
↑
387.36 m
↓
↑
387.36 m
↓
S 50.642494°
W 22.126465°		 ← 387.34 m →
150 043 m²		 S 50.642494°
W 22.120972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438545227050781 y=0.663642883300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438545227050781 × 216)
    floor (0.438545227050781 × 65536)
    floor (28740.5)     		tx = 28740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663642883300781 × 216)
    floor (0.663642883300781 × 65536)
    floor (43492.5)     		ty = 43492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28740 / 43492 ti = "16/28740/43492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28740/43492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28740 ÷ 216
    28740 ÷ 65536     		x = 0.43853759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43492 ÷ 216
    43492 ÷ 65536     		y = 0.66363525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43853759765625 × 2 - 1) × π
    -0.1229248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38617966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66363525390625 × 2 - 1) × π
    -0.3272705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02815062305096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38617966} λ = -0.38617966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02815062305096))-π/2
    2×atan(0.35766781190593)-π/2
    2×0.343489433727155-π/2
    0.686978867454309-1.57079632675     		φ = -0.88381746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38617966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.126465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88381746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.639010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28740 KachelY 43492 -0.38617966 -0.88381746 -22.126465 -50.639010
    Oben rechts KachelX + 1 28741 KachelY 43492 -0.38608379 -0.88381746 -22.120972 -50.639010
    Unten links KachelX 28740 KachelY + 1 43493 -0.38617966 -0.88387826 -22.126465 -50.642494
    Unten rechts KachelX + 1 28741 KachelY + 1 43493 -0.38608379 -0.88387826 -22.120972 -50.642494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88381746--0.88387826) × R
    6.0799999999972e-05 × 6371000     		dl = 387.356799999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88381746--0.88387826) × R
    6.0799999999972e-05 × 6371000     		dr = 387.356799999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38617966--0.38608379) × cos(-0.88381746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.634204243907759 × 6371000     		do = 387.364195860948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38617966--0.38608379) × cos(-0.88387826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63415723426977 × 6371000     		du = 387.335482948992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88381746)-sin(-0.88387826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634204243907759-0.63415723426977)×R²
    abs(-0.38608379--0.38617966)×4.70096379892038e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70096379892038e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70096379892038e-05×40589641000000     		ar = 150042.594318702m²