Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28739 / 42906
↖ ↑ ↗
← S 48.552978°
W 22.131958°		 ← 404.34 m → S 48.552978°
W 22.126465°		 →
↑
404.30 m
↓
↑
404.30 m
↓
S 48.556614°
W 22.131958°		 ← 404.31 m →
163 470 m²		 S 48.556614°
W 22.126465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438529968261719 y=0.654701232910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438529968261719 × 216)
    floor (0.438529968261719 × 65536)
    floor (28739.5)     		tx = 28739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654701232910156 × 216)
    floor (0.654701232910156 × 65536)
    floor (42906.5)     		ty = 42906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28739 / 42906 ti = "16/28739/42906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28739/42906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28739 ÷ 216
    28739 ÷ 65536     		x = 0.438522338867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42906 ÷ 216
    42906 ÷ 65536     		y = 0.654693603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438522338867188 × 2 - 1) × π
    -0.122955322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38627554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654693603515625 × 2 - 1) × π
    -0.30938720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.971968576696259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38627554} λ = -0.38627554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971968576696259))-π/2
    2×atan(0.378337518116037)-π/2
    2×0.36169349809779-π/2
    0.72338699619558-1.57079632675     		φ = -0.84740933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38627554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.131958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84740933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.552978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28739 KachelY 42906 -0.38627554 -0.84740933 -22.131958 -48.552978
    Oben rechts KachelX + 1 28740 KachelY 42906 -0.38617966 -0.84740933 -22.126465 -48.552978
    Unten links KachelX 28739 KachelY + 1 42907 -0.38627554 -0.84747279 -22.131958 -48.556614
    Unten rechts KachelX + 1 28740 KachelY + 1 42907 -0.38617966 -0.84747279 -22.126465 -48.556614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84740933--0.84747279) × R
    6.34600000000152e-05 × 6371000     		dl = 404.303660000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84740933--0.84747279) × R
    6.34600000000152e-05 × 6371000     		dr = 404.303660000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38627554--0.38617966) × cos(-0.84740933) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.661927248554375 × 6371000     		do = 404.339239431737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38627554--0.38617966) × cos(-0.84747279) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.661879679630735 × 6371000     		du = 404.310181884329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84740933)-sin(-0.84747279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661927248554375-0.661879679630735)×R²
    abs(-0.38617966--0.38627554)×4.75689236406618e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75689236406618e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75689236406618e-05×40589641000000     		ar = 163469.960402679m²