Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28738 / 42854
↖ ↑ ↗
← S 48.363549°
W 22.137451°		 ← 405.81 m → S 48.363549°
W 22.131958°		 →
↑
405.77 m
↓
↑
405.77 m
↓
S 48.367198°
W 22.137451°		 ← 405.78 m →
164 659 m²		 S 48.367198°
W 22.131958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438514709472656 y=0.653907775878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438514709472656 × 216)
    floor (0.438514709472656 × 65536)
    floor (28738.5)     		tx = 28738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653907775878906 × 216)
    floor (0.653907775878906 × 65536)
    floor (42854.5)     		ty = 42854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28738 / 42854 ti = "16/28738/42854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28738/42854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28738 ÷ 216
    28738 ÷ 65536     		x = 0.438507080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42854 ÷ 216
    42854 ÷ 65536     		y = 0.653900146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438507080078125 × 2 - 1) × π
    -0.12298583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38637141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653900146484375 × 2 - 1) × π
    -0.30780029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.966983139135773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38637141} λ = -0.38637141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.966983139135773))-π/2
    2×atan(0.380228405724012)-π/2
    2×0.363346580375596-π/2
    0.726693160751193-1.57079632675     		φ = -0.84410317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38637141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.137451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84410317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.363549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28738 KachelY 42854 -0.38637141 -0.84410317 -22.137451 -48.363549
    Oben rechts KachelX + 1 28739 KachelY 42854 -0.38627554 -0.84410317 -22.131958 -48.363549
    Unten links KachelX 28738 KachelY + 1 42855 -0.38637141 -0.84416686 -22.137451 -48.367198
    Unten rechts KachelX + 1 28739 KachelY + 1 42855 -0.38627554 -0.84416686 -22.131958 -48.367198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84410317--0.84416686) × R
    6.36899999999496e-05 × 6371000     		dl = 405.768989999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84410317--0.84416686) × R
    6.36899999999496e-05 × 6371000     		dr = 405.768989999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38637141--0.38627554) × cos(-0.84410317) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.664401818408641 × 6371000     		do = 405.808505049985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38637141--0.38627554) × cos(-0.84416686) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.664354216711882 × 6371000     		du = 405.779430515773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84410317)-sin(-0.84416686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664401818408641-0.664354216711882)×R²
    abs(-0.38627554--0.38637141)×4.76016967593251e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.76016967593251e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.76016967593251e-05×40589641000000     		ar = 164658.608510906m²