Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 28737 / 20544
↖ ↑ ↗
← N 76.800739°
W101.071472°		 ← 69.74 m → N 76.800739°
W101.068725°		 →
↑
69.76 m
↓
↑
69.76 m
↓
N 76.800111°
W101.071472°		 ← 69.74 m →
4 865 m²		 N 76.800111°
W101.068725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219249725341797 y=0.156742095947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219249725341797 × 217)
    floor (0.219249725341797 × 131072)
    floor (28737.5)     		tx = 28737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156742095947266 × 217)
    floor (0.156742095947266 × 131072)
    floor (20544.5)     		ty = 20544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28737 / 20544 ti = "17/28737/20544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28737/20544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28737 ÷ 217
    28737 ÷ 131072     		x = 0.219245910644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20544 ÷ 217
    20544 ÷ 131072     		y = 0.15673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219245910644531 × 2 - 1) × π
    -0.561508178710938 × 3.1415926535     		Λ = -1.76402997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15673828125 × 2 - 1) × π
    0.6865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15677698770557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76402997} λ = -1.76402997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15677698770557))-π/2
    2×atan(8.64323546389512)-π/2
    2×1.45561104258962-π/2
    2.91122208517924-1.57079632675     		φ = 1.34042576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76402997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.071472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34042576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.800739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28737 KachelY 20544 -1.76402997 1.34042576 -101.071472 76.800739
    Oben rechts KachelX + 1 28738 KachelY 20544 -1.76398203 1.34042576 -101.068725 76.800739
    Unten links KachelX 28737 KachelY + 1 20545 -1.76402997 1.34041481 -101.071472 76.800111
    Unten rechts KachelX + 1 28738 KachelY + 1 20545 -1.76398203 1.34041481 -101.068725 76.800111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34042576-1.34041481) × R
    1.09500000000651e-05 × 6371000     		dl = 69.7624500004146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34042576-1.34041481) × R
    1.09500000000651e-05 × 6371000     		dr = 69.7624500004146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76402997--1.76398203) × cos(1.34042576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228338316309318 × 6371000     		do = 69.7403992290819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76402997--1.76398203) × cos(1.34041481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228348977016856 × 6371000     		du = 69.7436552835706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34042576)-sin(1.34041481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228338316309318-0.228348977016856)×R²
    abs(-1.76398203--1.76402997)×1.06607075381349e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06607075381349e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06607075381349e-05×40589641000000     		ar = 4865.37468951237m²