Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28735 / 43615
↖ ↑ ↗
← S 51.065565°
W 22.153931°		 ← 383.84 m → S 51.065565°
W 22.148438°		 →
↑
383.85 m
↓
↑
383.85 m
↓
S 51.069017°
W 22.153931°		 ← 383.81 m →
147 332 m²		 S 51.069017°
W 22.148438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438468933105469 y=0.665519714355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438468933105469 × 216)
    floor (0.438468933105469 × 65536)
    floor (28735.5)     		tx = 28735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665519714355469 × 216)
    floor (0.665519714355469 × 65536)
    floor (43615.5)     		ty = 43615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28735 / 43615 ti = "16/28735/43615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28735/43615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28735 ÷ 216
    28735 ÷ 65536     		x = 0.438461303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43615 ÷ 216
    43615 ÷ 65536     		y = 0.665512084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438461303710938 × 2 - 1) × π
    -0.123077392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38665903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665512084960938 × 2 - 1) × π
    -0.331024169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.0399431003575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38665903} λ = -0.38665903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0399431003575))-π/2
    2×atan(0.353474793976002)-π/2
    2×0.339767044068726-π/2
    0.679534088137452-1.57079632675     		φ = -0.89126224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38665903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.153931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89126224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.065565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28735 KachelY 43615 -0.38665903 -0.89126224 -22.153931 -51.065565
    Oben rechts KachelX + 1 28736 KachelY 43615 -0.38656316 -0.89126224 -22.148438 -51.065565
    Unten links KachelX 28735 KachelY + 1 43616 -0.38665903 -0.89132249 -22.153931 -51.069017
    Unten rechts KachelX + 1 28736 KachelY + 1 43616 -0.38656316 -0.89132249 -22.148438 -51.069017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89126224--0.89132249) × R
    6.02499999999839e-05 × 6371000     		dl = 383.852749999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89126224--0.89132249) × R
    6.02499999999839e-05 × 6371000     		dr = 383.852749999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38665903--0.38656316) × cos(-0.89126224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.628430674386324 × 6371000     		do = 383.83777020801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38665903--0.38656316) × cos(-0.89132249) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.628383806843492 × 6371000     		du = 383.809144086039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89126224)-sin(-0.89132249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628430674386324-0.628383806843492)×R²
    abs(-0.38656316--0.38665903)×4.68675428313414e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68675428313414e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68675428313414e-05×40589641000000     		ar = 147331.689584994m²