Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28735 / 22590
↖ ↑ ↗
← N 48.698212°
W 22.153931°		 ← 403.14 m → N 48.698212°
W 22.148438°		 →
↑
403.16 m
↓
↑
403.16 m
↓
N 48.694586°
W 22.153931°		 ← 403.16 m →
162 533 m²		 N 48.694586°
W 22.148438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438468933105469 y=0.344703674316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438468933105469 × 216)
    floor (0.438468933105469 × 65536)
    floor (28735.5)     		tx = 28735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344703674316406 × 216)
    floor (0.344703674316406 × 65536)
    floor (22590.5)     		ty = 22590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28735 / 22590 ti = "16/28735/22590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28735/22590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28735 ÷ 216
    28735 ÷ 65536     		x = 0.438461303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22590 ÷ 216
    22590 ÷ 65536     		y = 0.344696044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438461303710938 × 2 - 1) × π
    -0.123077392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38665903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344696044921875 × 2 - 1) × π
    0.31060791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.975803528665863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38665903} λ = -0.38665903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975803528665863))-π/2
    2×atan(2.65329835593799)-π/2
    2×1.21037023445071-π/2
    2.42074046890143-1.57079632675     		φ = 0.84994414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38665903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.153931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84994414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.698212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28735 KachelY 22590 -0.38665903 0.84994414 -22.153931 48.698212
    Oben rechts KachelX + 1 28736 KachelY 22590 -0.38656316 0.84994414 -22.148438 48.698212
    Unten links KachelX 28735 KachelY + 1 22591 -0.38665903 0.84988086 -22.153931 48.694586
    Unten rechts KachelX + 1 28736 KachelY + 1 22591 -0.38656316 0.84988086 -22.148438 48.694586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84994414-0.84988086) × R
    6.32799999999989e-05 × 6371000     		dl = 403.156879999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84994414-0.84988086) × R
    6.32799999999989e-05 × 6371000     		dr = 403.156879999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38665903--0.38656316) × cos(0.84994414) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.660025111378706 × 6371000     		do = 403.135265922993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38665903--0.38656316) × cos(0.84988086) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.660072648748226 × 6371000     		du = 403.164301166914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84994414)-sin(0.84988086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660025111378706-0.660072648748226)×R²
    abs(-0.38656316--0.38665903)×4.75373695206782e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75373695206782e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75373695206782e-05×40589641000000     		ar = 162532.608960927m²