Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28735 / 21203
↖ ↑ ↗
← N 53.478239°
W 22.153931°		 ← 363.50 m → N 53.478239°
W 22.148438°		 →
↑
363.53 m
↓
↑
363.53 m
↓
N 53.474970°
W 22.153931°		 ← 363.52 m →
132 147 m²		 N 53.474970°
W 22.148438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438468933105469 y=0.323539733886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438468933105469 × 216)
    floor (0.438468933105469 × 65536)
    floor (28735.5)     		tx = 28735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323539733886719 × 216)
    floor (0.323539733886719 × 65536)
    floor (21203.5)     		ty = 21203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28735 / 21203 ti = "16/28735/21203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28735/21203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28735 ÷ 216
    28735 ÷ 65536     		x = 0.438461303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21203 ÷ 216
    21203 ÷ 65536     		y = 0.323532104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438461303710938 × 2 - 1) × π
    -0.123077392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38665903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323532104492188 × 2 - 1) × π
    0.352935791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1087804882119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38665903} λ = -0.38665903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1087804882119))-π/2
    2×atan(3.03066021404996)-π/2
    2×1.25208384002911-π/2
    2.50416768005822-1.57079632675     		φ = 0.93337135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38665903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.153931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93337135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.478239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28735 KachelY 21203 -0.38665903 0.93337135 -22.153931 53.478239
    Oben rechts KachelX + 1 28736 KachelY 21203 -0.38656316 0.93337135 -22.148438 53.478239
    Unten links KachelX 28735 KachelY + 1 21204 -0.38665903 0.93331429 -22.153931 53.474970
    Unten rechts KachelX + 1 28736 KachelY + 1 21204 -0.38656316 0.93331429 -22.148438 53.474970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93337135-0.93331429) × R
    5.70600000000532e-05 × 6371000     		dl = 363.529260000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93337135-0.93331429) × R
    5.70600000000532e-05 × 6371000     		dr = 363.529260000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38665903--0.38656316) × cos(0.93337135) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.595128048531562 × 6371000     		do = 363.496933627037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38665903--0.38656316) × cos(0.93331429) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.595173902741245 × 6371000     		du = 363.524940817514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93337135)-sin(0.93331429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595128048531562-0.595173902741245)×R²
    abs(-0.38656316--0.38665903)×4.58542096829495e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58542096829495e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58542096829495e-05×40589641000000     		ar = 132146.862045981m²