Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28735 / 20553
↖ ↑ ↗
← N 76.795093°
W101.076965°		 ← 69.76 m → N 76.795093°
W101.074219°		 →
↑
69.83 m
↓
↑
69.83 m
↓
N 76.794465°
W101.076965°		 ← 69.76 m →
4 871 m²		 N 76.794465°
W101.074219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219234466552734 y=0.156810760498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219234466552734 × 217)
    floor (0.219234466552734 × 131072)
    floor (28735.5)     		tx = 28735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156810760498047 × 217)
    floor (0.156810760498047 × 131072)
    floor (20553.5)     		ty = 20553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28735 / 20553 ti = "17/28735/20553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28735/20553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28735 ÷ 217
    28735 ÷ 131072     		x = 0.219230651855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20553 ÷ 217
    20553 ÷ 131072     		y = 0.156806945800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219230651855469 × 2 - 1) × π
    -0.561538696289062 × 3.1415926535     		Λ = -1.76412584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156806945800781 × 2 - 1) × π
    0.686386108398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.15634555560899
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76412584} λ = -1.76412584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15634555560899))-π/2
    2×atan(8.63950729898052)-π/2
    2×1.45556177600399-π/2
    2.91112355200797-1.57079632675     		φ = 1.34032723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76412584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.076965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34032723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.795093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28735 KachelY 20553 -1.76412584 1.34032723 -101.076965 76.795093
    Oben rechts KachelX + 1 28736 KachelY 20553 -1.76407791 1.34032723 -101.074219 76.795093
    Unten links KachelX 28735 KachelY + 1 20554 -1.76412584 1.34031627 -101.076965 76.794465
    Unten rechts KachelX + 1 28736 KachelY + 1 20554 -1.76407791 1.34031627 -101.074219 76.794465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34032723-1.34031627) × R
    1.09600000000043e-05 × 6371000     		dl = 69.8261600000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34032723-1.34031627) × R
    1.09600000000043e-05 × 6371000     		dr = 69.8261600000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76412584--1.76407791) × cos(1.34032723) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.228434242220201 × 6371000     		do = 69.7551439259149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76412584--1.76407791) × cos(1.34031627) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.228444912416895 × 6371000     		du = 69.7584021988379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34032723)-sin(1.34031627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228434242220201-0.228444912416895)×R²
    abs(-1.76407791--1.76412584)×1.06701966939848e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06701966939848e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06701966939848e-05×40589641000000     		ar = 4870.84759699688m²