Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28733 / 22142
↖ ↑ ↗
← N 50.296358°
W 22.164917°		 ← 390.18 m → N 50.296358°
W 22.159424°		 →
↑
390.22 m
↓
↑
390.22 m
↓
N 50.292849°
W 22.164917°		 ← 390.21 m →
152 264 m²		 N 50.292849°
W 22.159424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438438415527344 y=0.337867736816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438438415527344 × 216)
    floor (0.438438415527344 × 65536)
    floor (28733.5)     		tx = 28733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337867736816406 × 216)
    floor (0.337867736816406 × 65536)
    floor (22142.5)     		ty = 22142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28733 / 22142 ti = "16/28733/22142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28733/22142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28733 ÷ 216
    28733 ÷ 65536     		x = 0.438430786132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22142 ÷ 216
    22142 ÷ 65536     		y = 0.337860107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438430786132812 × 2 - 1) × π
    -0.123138427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38685078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337860107421875 × 2 - 1) × π
    0.32427978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01875499072543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38685078} λ = -0.38685078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01875499072543))-π/2
    2×atan(2.76974425916393)-π/2
    2×1.2243166880032-π/2
    2.44863337600641-1.57079632675     		φ = 0.87783705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38685078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.164917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87783705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.296358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28733 KachelY 22142 -0.38685078 0.87783705 -22.164917 50.296358
    Oben rechts KachelX + 1 28734 KachelY 22142 -0.38675491 0.87783705 -22.159424 50.296358
    Unten links KachelX 28733 KachelY + 1 22143 -0.38685078 0.87777580 -22.164917 50.292849
    Unten rechts KachelX + 1 28734 KachelY + 1 22143 -0.38675491 0.87777580 -22.159424 50.292849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87783705-0.87777580) × R
    6.12500000000127e-05 × 6371000     		dl = 390.223750000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87783705-0.87777580) × R
    6.12500000000127e-05 × 6371000     		dr = 390.223750000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38685078--0.38675491) × cos(0.87783705) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.638816722148531 × 6371000     		do = 390.181441159802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38685078--0.38675491) × cos(0.87777580) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63886384418597 × 6371000     		du = 390.210222723968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87783705)-sin(0.87777580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638816722148531-0.63886384418597)×R²
    abs(-0.38675491--0.38685078)×4.71220374396175e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71220374396175e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71220374396175e-05×40589641000000     		ar = 152263.680822424m²