Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28733 / 20555
↖ ↑ ↗
← N 76.793838°
W101.082459°		 ← 69.78 m → N 76.793838°
W101.079712°		 →
↑
69.76 m
↓
↑
69.76 m
↓
N 76.793211°
W101.082459°		 ← 69.78 m →
4 868 m²		 N 76.793211°
W101.079712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219219207763672 y=0.156826019287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219219207763672 × 217)
    floor (0.219219207763672 × 131072)
    floor (28733.5)     		tx = 28733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156826019287109 × 217)
    floor (0.156826019287109 × 131072)
    floor (20555.5)     		ty = 20555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28733 / 20555 ti = "17/28733/20555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28733/20555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28733 ÷ 217
    28733 ÷ 131072     		x = 0.219215393066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20555 ÷ 217
    20555 ÷ 131072     		y = 0.156822204589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219215393066406 × 2 - 1) × π
    -0.561569213867188 × 3.1415926535     		Λ = -1.76422172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156822204589844 × 2 - 1) × π
    0.686355590820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.15624968180975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76422172} λ = -1.76422172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15624968180975))-π/2
    2×atan(8.63867903629719)-π/2
    2×1.45555082506336-π/2
    2.91110165012672-1.57079632675     		φ = 1.34030532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76422172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.082459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34030532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.793838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28733 KachelY 20555 -1.76422172 1.34030532 -101.082459 76.793838
    Oben rechts KachelX + 1 28734 KachelY 20555 -1.76417378 1.34030532 -101.079712 76.793838
    Unten links KachelX 28733 KachelY + 1 20556 -1.76422172 1.34029437 -101.082459 76.793211
    Unten rechts KachelX + 1 28734 KachelY + 1 20556 -1.76417378 1.34029437 -101.079712 76.793211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34030532-1.34029437) × R
    1.0949999999843e-05 × 6371000     		dl = 69.7624499989999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34030532-1.34029437) × R
    1.0949999999843e-05 × 6371000     		dr = 69.7624499989999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76422172--1.76417378) × cos(1.34030532) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.228455572850604 × 6371000     		do = 69.7762123952971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76422172--1.76417378) × cos(1.34029437) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.228466233256921 × 6371000     		du = 69.7794683577852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34030532)-sin(1.34029437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228455572850604-0.228466233256921)×R²
    abs(-1.76417378--1.76422172)×1.06604063168925e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.06604063168925e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.06604063168925e-05×40589641000000     		ar = 4867.87310033967m²