Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28732 / 42799
↖ ↑ ↗
← S 48.162421°
W 22.170410°		 ← 407.41 m → S 48.162421°
W 22.164917°		 →
↑
407.43 m
↓
↑
407.43 m
↓
S 48.166086°
W 22.170410°		 ← 407.38 m →
165 983 m²		 S 48.166086°
W 22.164917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438423156738281 y=0.653068542480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438423156738281 × 216)
    floor (0.438423156738281 × 65536)
    floor (28732.5)     		tx = 28732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653068542480469 × 216)
    floor (0.653068542480469 × 65536)
    floor (42799.5)     		ty = 42799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28732 / 42799 ti = "16/28732/42799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28732/42799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28732 ÷ 216
    28732 ÷ 65536     		x = 0.43841552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42799 ÷ 216
    42799 ÷ 65536     		y = 0.653060913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43841552734375 × 2 - 1) × π
    -0.1231689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38694665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653060913085938 × 2 - 1) × π
    -0.306121826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.961710080177567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38694665} λ = -0.38694665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.961710080177567))-π/2
    2×atan(0.382238667982717)-π/2
    2×0.365101748016585-π/2
    0.73020349603317-1.57079632675     		φ = -0.84059283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38694665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.170410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84059283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.162421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28732 KachelY 42799 -0.38694665 -0.84059283 -22.170410 -48.162421
    Oben rechts KachelX + 1 28733 KachelY 42799 -0.38685078 -0.84059283 -22.164917 -48.162421
    Unten links KachelX 28732 KachelY + 1 42800 -0.38694665 -0.84065678 -22.170410 -48.166086
    Unten rechts KachelX + 1 28733 KachelY + 1 42800 -0.38685078 -0.84065678 -22.164917 -48.166086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84059283--0.84065678) × R
    6.39500000000348e-05 × 6371000     		dl = 407.425450000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84059283--0.84065678) × R
    6.39500000000348e-05 × 6371000     		dr = 407.425450000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38694665--0.38685078) × cos(-0.84059283) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.667021261797316 × 6371000     		do = 407.40842903576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38694665--0.38685078) × cos(-0.84065678) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.666973615209768 × 6371000     		du = 407.379327082803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84059283)-sin(-0.84065678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667021261797316-0.666973615209768)×R²
    abs(-0.38685078--0.38694665)×4.76465875487442e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76465875487442e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76465875487442e-05×40589641000000     		ar = 165982.634152291m²