Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28732 / 21197
↖ ↑ ↗
← N 53.497850°
W 22.170410°		 ← 363.33 m → N 53.497850°
W 22.164917°		 →
↑
363.40 m
↓
↑
363.40 m
↓
N 53.494582°
W 22.170410°		 ← 363.36 m →
132 039 m²		 N 53.494582°
W 22.164917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438423156738281 y=0.323448181152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438423156738281 × 216)
    floor (0.438423156738281 × 65536)
    floor (28732.5)     		tx = 28732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323448181152344 × 216)
    floor (0.323448181152344 × 65536)
    floor (21197.5)     		ty = 21197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28732 / 21197 ti = "16/28732/21197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28732/21197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28732 ÷ 216
    28732 ÷ 65536     		x = 0.43841552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21197 ÷ 216
    21197 ÷ 65536     		y = 0.323440551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43841552734375 × 2 - 1) × π
    -0.1231689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38694665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323440551757812 × 2 - 1) × π
    0.353118896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10935573100734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38694665} λ = -0.38694665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10935573100734))-π/2
    2×atan(3.03240408102889)-π/2
    2×1.25225497202741-π/2
    2.50450994405482-1.57079632675     		φ = 0.93371362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38694665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.170410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93371362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.497850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28732 KachelY 21197 -0.38694665 0.93371362 -22.170410 53.497850
    Oben rechts KachelX + 1 28733 KachelY 21197 -0.38685078 0.93371362 -22.164917 53.497850
    Unten links KachelX 28732 KachelY + 1 21198 -0.38694665 0.93365658 -22.170410 53.494582
    Unten rechts KachelX + 1 28733 KachelY + 1 21198 -0.38685078 0.93365658 -22.164917 53.494582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93371362-0.93365658) × R
    5.70400000000637e-05 × 6371000     		dl = 363.401840000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93371362-0.93365658) × R
    5.70400000000637e-05 × 6371000     		dr = 363.401840000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38694665--0.38685078) × cos(0.93371362) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59485295493328 × 6371000     		do = 363.328909821601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38694665--0.38685078) × cos(0.93365658) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59489880468752 × 6371000     		du = 363.356914290748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93371362)-sin(0.93365658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59485295493328-0.59489880468752)×R²
    abs(-0.38685078--0.38694665)×4.58497542394909e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58497542394909e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58497542394909e-05×40589641000000     		ar = 132039.482828084m²