Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28732 / 21196
↖ ↑ ↗
← N 53.501117°
W 22.170410°		 ← 363.30 m → N 53.501117°
W 22.164917°		 →
↑
363.34 m
↓
↑
363.34 m
↓
N 53.497850°
W 22.170410°		 ← 363.33 m →
132 006 m²		 N 53.497850°
W 22.164917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438423156738281 y=0.323432922363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438423156738281 × 216)
    floor (0.438423156738281 × 65536)
    floor (28732.5)     		tx = 28732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323432922363281 × 216)
    floor (0.323432922363281 × 65536)
    floor (21196.5)     		ty = 21196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28732 / 21196 ti = "16/28732/21196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28732/21196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28732 ÷ 216
    28732 ÷ 65536     		x = 0.43841552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21196 ÷ 216
    21196 ÷ 65536     		y = 0.32342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43841552734375 × 2 - 1) × π
    -0.1231689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38694665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32342529296875 × 2 - 1) × π
    0.3531494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10945160480658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38694665} λ = -0.38694665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10945160480658))-π/2
    2×atan(3.03269482306602)-π/2
    2×1.25228348633512-π/2
    2.50456697267025-1.57079632675     		φ = 0.93377065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38694665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.170410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93377065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.501117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28732 KachelY 21196 -0.38694665 0.93377065 -22.170410 53.501117
    Oben rechts KachelX + 1 28733 KachelY 21196 -0.38685078 0.93377065 -22.164917 53.501117
    Unten links KachelX 28732 KachelY + 1 21197 -0.38694665 0.93371362 -22.170410 53.497850
    Unten rechts KachelX + 1 28733 KachelY + 1 21197 -0.38685078 0.93371362 -22.164917 53.497850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93377065-0.93371362) × R
    5.70300000000135e-05 × 6371000     		dl = 363.338130000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93377065-0.93371362) × R
    5.70300000000135e-05 × 6371000     		dr = 363.338130000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38694665--0.38685078) × cos(0.93377065) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.594807111282335 × 6371000     		do = 363.300909080271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38694665--0.38685078) × cos(0.93371362) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59485295493328 × 6371000     		du = 363.328909821601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93377065)-sin(0.93371362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594807111282335-0.59485295493328)×R²
    abs(-0.38685078--0.38694665)×4.58436509456206e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58436509456206e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58436509456206e-05×40589641000000     		ar = 132006.159836629m²