Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28731 / 43565
↖ ↑ ↗
← S 50.892639°
W 22.175903°		 ← 385.31 m → S 50.892639°
W 22.170410°		 →
↑
385.25 m
↓
↑
385.25 m
↓
S 50.896104°
W 22.175903°		 ← 385.28 m →
148 437 m²		 S 50.896104°
W 22.170410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438407897949219 y=0.664756774902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438407897949219 × 216)
    floor (0.438407897949219 × 65536)
    floor (28731.5)     		tx = 28731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664756774902344 × 216)
    floor (0.664756774902344 × 65536)
    floor (43565.5)     		ty = 43565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28731 / 43565 ti = "16/28731/43565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28731/43565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28731 ÷ 216
    28731 ÷ 65536     		x = 0.438400268554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43565 ÷ 216
    43565 ÷ 65536     		y = 0.664749145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438400268554688 × 2 - 1) × π
    -0.123199462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38704253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664749145507812 × 2 - 1) × π
    -0.329498291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03514941039549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38704253} λ = -0.38704253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03514941039549))-π/2
    2×atan(0.355173310375633)-π/2
    2×0.341276104473186-π/2
    0.682552208946373-1.57079632675     		φ = -0.88824412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38704253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.175903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88824412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.892639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28731 KachelY 43565 -0.38704253 -0.88824412 -22.175903 -50.892639
    Oben rechts KachelX + 1 28732 KachelY 43565 -0.38694665 -0.88824412 -22.170410 -50.892639
    Unten links KachelX 28731 KachelY + 1 43566 -0.38704253 -0.88830459 -22.175903 -50.896104
    Unten rechts KachelX + 1 28732 KachelY + 1 43566 -0.38694665 -0.88830459 -22.170410 -50.896104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88824412--0.88830459) × R
    6.04699999999792e-05 × 6371000     		dl = 385.254369999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88824412--0.88830459) × R
    6.04699999999792e-05 × 6371000     		dr = 385.254369999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38704253--0.38694665) × cos(-0.88824412) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.630775500338174 × 6371000     		do = 385.310147929285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38704253--0.38694665) × cos(-0.88830459) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.630728576558529 × 6371000     		du = 385.281484469041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88824412)-sin(-0.88830459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630775500338174-0.630728576558529)×R²
    abs(-0.38694665--0.38704253)×4.69237796448807e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69237796448807e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69237796448807e-05×40589641000000     		ar = 148436.896978854m²