Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28731 / 42805
↖ ↑ ↗
← S 48.184401°
W 22.175903°		 ← 407.28 m → S 48.184401°
W 22.170410°		 →
↑
407.23 m
↓
↑
407.23 m
↓
S 48.188064°
W 22.175903°		 ← 407.25 m →
165 851 m²		 S 48.188064°
W 22.170410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438407897949219 y=0.653160095214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438407897949219 × 216)
    floor (0.438407897949219 × 65536)
    floor (28731.5)     		tx = 28731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653160095214844 × 216)
    floor (0.653160095214844 × 65536)
    floor (42805.5)     		ty = 42805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28731 / 42805 ti = "16/28731/42805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28731/42805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28731 ÷ 216
    28731 ÷ 65536     		x = 0.438400268554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42805 ÷ 216
    42805 ÷ 65536     		y = 0.653152465820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438400268554688 × 2 - 1) × π
    -0.123199462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38704253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653152465820312 × 2 - 1) × π
    -0.306304931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.962285322973007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38704253} λ = -0.38704253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.962285322973007))-π/2
    2×atan(0.3820188511729)-π/2
    2×0.364909939539223-π/2
    0.729819879078445-1.57079632675     		φ = -0.84097645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38704253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.175903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84097645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.184401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28731 KachelY 42805 -0.38704253 -0.84097645 -22.175903 -48.184401
    Oben rechts KachelX + 1 28732 KachelY 42805 -0.38694665 -0.84097645 -22.170410 -48.184401
    Unten links KachelX 28731 KachelY + 1 42806 -0.38704253 -0.84104037 -22.175903 -48.188064
    Unten rechts KachelX + 1 28732 KachelY + 1 42806 -0.38694665 -0.84104037 -22.170410 -48.188064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84097645--0.84104037) × R
    6.39199999999951e-05 × 6371000     		dl = 407.234319999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84097645--0.84104037) × R
    6.39199999999951e-05 × 6371000     		dr = 407.234319999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38704253--0.38694665) × cos(-0.84097645) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.66673540098463 × 6371000     		do = 407.276306459824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38704253--0.38694665) × cos(-0.84104037) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.666687760397588 × 6371000     		du = 407.247205136721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84097645)-sin(-0.84104037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66673540098463-0.666687760397588)×R²
    abs(-0.38694665--0.38704253)×4.76405870423191e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76405870423191e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76405870423191e-05×40589641000000     		ar = 165850.964240951m²