Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28731 / 22588
↖ ↑ ↗
← N 48.705463°
W 22.175903°		 ← 403.12 m → N 48.705463°
W 22.170410°		 →
↑
403.09 m
↓
↑
403.09 m
↓
N 48.701838°
W 22.175903°		 ← 403.15 m →
162 500 m²		 N 48.701838°
W 22.170410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438407897949219 y=0.344673156738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438407897949219 × 216)
    floor (0.438407897949219 × 65536)
    floor (28731.5)     		tx = 28731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344673156738281 × 216)
    floor (0.344673156738281 × 65536)
    floor (22588.5)     		ty = 22588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28731 / 22588 ti = "16/28731/22588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28731/22588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28731 ÷ 216
    28731 ÷ 65536     		x = 0.438400268554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22588 ÷ 216
    22588 ÷ 65536     		y = 0.34466552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438400268554688 × 2 - 1) × π
    -0.123199462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38704253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34466552734375 × 2 - 1) × π
    0.3106689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.975995276264343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38704253} λ = -0.38704253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975995276264343))-π/2
    2×atan(2.65380716830601)-π/2
    2×1.21043350900798-π/2
    2.42086701801596-1.57079632675     		φ = 0.85007069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38704253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.175903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85007069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.705463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28731 KachelY 22588 -0.38704253 0.85007069 -22.175903 48.705463
    Oben rechts KachelX + 1 28732 KachelY 22588 -0.38694665 0.85007069 -22.170410 48.705463
    Unten links KachelX 28731 KachelY + 1 22589 -0.38704253 0.85000742 -22.175903 48.701838
    Unten rechts KachelX + 1 28732 KachelY + 1 22589 -0.38694665 0.85000742 -22.170410 48.701838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85007069-0.85000742) × R
    6.32700000000597e-05 × 6371000     		dl = 403.09317000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85007069-0.85000742) × R
    6.32700000000597e-05 × 6371000     		dr = 403.09317000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38704253--0.38694665) × cos(0.85007069) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.659930036224194 × 6371000     		do = 403.119239323972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38704253--0.38694665) × cos(0.85000742) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.659977571366208 × 6371000     		du = 403.148276235823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85007069)-sin(0.85000742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659930036224194-0.659977571366208)×R²
    abs(-0.38694665--0.38704253)×4.75351420139436e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75351420139436e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75351420139436e-05×40589641000000     		ar = 162500.464411865m²