Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28730 / 43616
↖ ↑ ↗
← S 51.069017°
W 22.181396°		 ← 383.81 m → S 51.069017°
W 22.175903°		 →
↑
383.79 m
↓
↑
383.79 m
↓
S 51.072468°
W 22.181396°		 ← 383.78 m →
147 296 m²		 S 51.072468°
W 22.175903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438392639160156 y=0.665534973144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438392639160156 × 216)
    floor (0.438392639160156 × 65536)
    floor (28730.5)     		tx = 28730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665534973144531 × 216)
    floor (0.665534973144531 × 65536)
    floor (43616.5)     		ty = 43616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28730 / 43616 ti = "16/28730/43616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28730/43616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28730 ÷ 216
    28730 ÷ 65536     		x = 0.438385009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43616 ÷ 216
    43616 ÷ 65536     		y = 0.66552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438385009765625 × 2 - 1) × π
    -0.12322998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38713840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66552734375 × 2 - 1) × π
    -0.3310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04003897415674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38713840} λ = -0.38713840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04003897415674))-π/2
    2×atan(0.353440906629048)-π/2
    2×0.339736920173826-π/2
    0.679473840347652-1.57079632675     		φ = -0.89132249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38713840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.181396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89132249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.069017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28730 KachelY 43616 -0.38713840 -0.89132249 -22.181396 -51.069017
    Oben rechts KachelX + 1 28731 KachelY 43616 -0.38704253 -0.89132249 -22.175903 -51.069017
    Unten links KachelX 28730 KachelY + 1 43617 -0.38713840 -0.89138273 -22.181396 -51.072468
    Unten rechts KachelX + 1 28731 KachelY + 1 43617 -0.38704253 -0.89138273 -22.175903 -51.072468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89132249--0.89138273) × R
    6.02400000000447e-05 × 6371000     		dl = 383.789040000285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89132249--0.89138273) × R
    6.02400000000447e-05 × 6371000     		dr = 383.789040000285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38713840--0.38704253) × cos(-0.89132249) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.628383806843492 × 6371000     		do = 383.809144086039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38713840--0.38704253) × cos(-0.89138273) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.628336944799002 × 6371000     		du = 383.780521322387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89132249)-sin(-0.89138273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628383806843492-0.628336944799002)×R²
    abs(-0.38704253--0.38713840)×4.68620444907808e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68620444907808e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68620444907808e-05×40589641000000     		ar = 147296.250445239m²