Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28728 / 22625
↖ ↑ ↗
← N 48.571155°
W 22.192383°		 ← 404.15 m → N 48.571155°
W 22.186890°		 →
↑
404.18 m
↓
↑
404.18 m
↓
N 48.567520°
W 22.192383°		 ← 404.18 m →
163 354 m²		 N 48.567520°
W 22.186890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438362121582031 y=0.345237731933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438362121582031 × 216)
    floor (0.438362121582031 × 65536)
    floor (28728.5)     		tx = 28728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345237731933594 × 216)
    floor (0.345237731933594 × 65536)
    floor (22625.5)     		ty = 22625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28728 / 22625 ti = "16/28728/22625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28728/22625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28728 ÷ 216
    28728 ÷ 65536     		x = 0.4383544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22625 ÷ 216
    22625 ÷ 65536     		y = 0.345230102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.123291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38733015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345230102539062 × 2 - 1) × π
    0.309539794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.972447945692459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38733015} λ = -0.38733015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.972447945692459))-π/2
    2×atan(2.64440991444319)-π/2
    2×1.2092614538944-π/2
    2.4185229077888-1.57079632675     		φ = 0.84772658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38733015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.192383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84772658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.571155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28728 KachelY 22625 -0.38733015 0.84772658 -22.192383 48.571155
    Oben rechts KachelX + 1 28729 KachelY 22625 -0.38723428 0.84772658 -22.186890 48.571155
    Unten links KachelX 28728 KachelY + 1 22626 -0.38733015 0.84766314 -22.192383 48.567520
    Unten rechts KachelX + 1 28729 KachelY + 1 22626 -0.38723428 0.84766314 -22.186890 48.567520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84772658-0.84766314) × R
    6.34400000000257e-05 × 6371000     		dl = 404.176240000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84772658-0.84766314) × R
    6.34400000000257e-05 × 6371000     		dr = 404.176240000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38733015--0.38723428) × cos(0.84772658) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661689414771961 × 6371000     		do = 404.151802081162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38733015--0.38723428) × cos(0.84766314) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661736979359643 × 6371000     		du = 404.180853949604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84772658)-sin(0.84766314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661689414771961-0.661736979359643)×R²
    abs(-0.38723428--0.38733015)×4.75645876825137e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75645876825137e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75645876825137e-05×40589641000000     		ar = 163354.426846733m²