Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28727 / 43566
↖ ↑ ↗
← S 50.896104°
W 22.197876°		 ← 385.24 m → S 50.896104°
W 22.192383°		 →
↑
385.25 m
↓
↑
385.25 m
↓
S 50.899569°
W 22.197876°		 ← 385.21 m →
148 410 m²		 S 50.899569°
W 22.192383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438346862792969 y=0.664772033691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438346862792969 × 216)
    floor (0.438346862792969 × 65536)
    floor (28727.5)     		tx = 28727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664772033691406 × 216)
    floor (0.664772033691406 × 65536)
    floor (43566.5)     		ty = 43566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28727 / 43566 ti = "16/28727/43566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28727/43566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28727 ÷ 216
    28727 ÷ 65536     		x = 0.438339233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43566 ÷ 216
    43566 ÷ 65536     		y = 0.664764404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438339233398438 × 2 - 1) × π
    -0.123321533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38742602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664764404296875 × 2 - 1) × π
    -0.32952880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03524528419473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38742602} λ = -0.38742602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03524528419473))-π/2
    2×atan(0.355139260193265)-π/2
    2×0.341245868176007-π/2
    0.682491736352014-1.57079632675     		φ = -0.88830459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38742602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.197876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88830459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.896104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28727 KachelY 43566 -0.38742602 -0.88830459 -22.197876 -50.896104
    Oben rechts KachelX + 1 28728 KachelY 43566 -0.38733015 -0.88830459 -22.192383 -50.896104
    Unten links KachelX 28727 KachelY + 1 43567 -0.38742602 -0.88836506 -22.197876 -50.899569
    Unten rechts KachelX + 1 28728 KachelY + 1 43567 -0.38733015 -0.88836506 -22.192383 -50.899569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88830459--0.88836506) × R
    6.04700000000902e-05 × 6371000     		dl = 385.254370000575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88830459--0.88836506) × R
    6.04700000000902e-05 × 6371000     		dr = 385.254370000575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38742602--0.38733015) × cos(-0.88830459) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630728576558529 × 6371000     		do = 385.24130075145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38742602--0.38733015) × cos(-0.88836506) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630681650472549 × 6371000     		du = 385.212638872039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88830459)-sin(-0.88836506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630728576558529-0.630681650472549)×R²
    abs(-0.38733015--0.38742602)×4.69260859802256e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69260859802256e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69260859802256e-05×40589641000000     		ar = 148410.373606994m²