Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28727 / 43538
↖ ↑ ↗
← S 50.798992°
W 22.197876°		 ← 386.04 m → S 50.798992°
W 22.192383°		 →
↑
386.02 m
↓
↑
386.02 m
↓
S 50.802463°
W 22.197876°		 ← 386.02 m →
149 015 m²		 S 50.802463°
W 22.192383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438346862792969 y=0.664344787597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438346862792969 × 216)
    floor (0.438346862792969 × 65536)
    floor (28727.5)     		tx = 28727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664344787597656 × 216)
    floor (0.664344787597656 × 65536)
    floor (43538.5)     		ty = 43538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28727 / 43538 ti = "16/28727/43538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28727/43538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28727 ÷ 216
    28727 ÷ 65536     		x = 0.438339233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43538 ÷ 216
    43538 ÷ 65536     		y = 0.664337158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438339233398438 × 2 - 1) × π
    -0.123321533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38742602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664337158203125 × 2 - 1) × π
    -0.32867431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03256081781601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38742602} λ = -0.38742602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03256081781601))-π/2
    2×atan(0.356093900373462)-π/2
    2×0.342093334995403-π/2
    0.684186669990806-1.57079632675     		φ = -0.88660966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38742602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.197876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88660966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.798992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28727 KachelY 43538 -0.38742602 -0.88660966 -22.197876 -50.798992
    Oben rechts KachelX + 1 28728 KachelY 43538 -0.38733015 -0.88660966 -22.192383 -50.798992
    Unten links KachelX 28727 KachelY + 1 43539 -0.38742602 -0.88667025 -22.197876 -50.802463
    Unten rechts KachelX + 1 28728 KachelY + 1 43539 -0.38733015 -0.88667025 -22.192383 -50.802463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88660966--0.88667025) × R
    6.0590000000027e-05 × 6371000     		dl = 386.018890000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88660966--0.88667025) × R
    6.0590000000027e-05 × 6371000     		dr = 386.018890000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38742602--0.38733015) × cos(-0.88660966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.632042941600129 × 6371000     		do = 386.044098844175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38742602--0.38733015) × cos(-0.88667025) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63199598722742 × 6371000     		du = 386.015419687576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88660966)-sin(-0.88667025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632042941600129-0.63199598722742)×R²
    abs(-0.38733015--0.38742602)×4.69543727098509e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69543727098509e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69543727098509e-05×40589641000000     		ar = 149014.779224664m²