Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28726 / 43517
↖ ↑ ↗
← S 50.726024°
W 22.203369°		 ← 386.69 m → S 50.726024°
W 22.197876°		 →
↑
386.66 m
↓
↑
386.66 m
↓
S 50.729502°
W 22.203369°		 ← 386.66 m →
149 509 m²		 S 50.729502°
W 22.197876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438331604003906 y=0.664024353027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438331604003906 × 216)
    floor (0.438331604003906 × 65536)
    floor (28726.5)     		tx = 28726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664024353027344 × 216)
    floor (0.664024353027344 × 65536)
    floor (43517.5)     		ty = 43517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28726 / 43517 ti = "16/28726/43517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28726/43517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28726 ÷ 216
    28726 ÷ 65536     		x = 0.438323974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43517 ÷ 216
    43517 ÷ 65536     		y = 0.664016723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438323974609375 × 2 - 1) × π
    -0.12335205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38752190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664016723632812 × 2 - 1) × π
    -0.328033447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03054746803197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38752190} λ = -0.38752190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03054746803197))-π/2
    2×atan(0.356811564162569)-π/2
    2×0.342730093195662-π/2
    0.685460186391325-1.57079632675     		φ = -0.88533614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38752190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.203369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88533614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.726024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28726 KachelY 43517 -0.38752190 -0.88533614 -22.203369 -50.726024
    Oben rechts KachelX + 1 28727 KachelY 43517 -0.38742602 -0.88533614 -22.197876 -50.726024
    Unten links KachelX 28726 KachelY + 1 43518 -0.38752190 -0.88539683 -22.203369 -50.729502
    Unten rechts KachelX + 1 28727 KachelY + 1 43518 -0.38742602 -0.88539683 -22.197876 -50.729502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88533614--0.88539683) × R
    6.06899999999744e-05 × 6371000     		dl = 386.655989999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88533614--0.88539683) × R
    6.06899999999744e-05 × 6371000     		dr = 386.655989999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38752190--0.38742602) × cos(-0.88533614) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.633029321931819 × 6371000     		do = 386.686898185418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38752190--0.38742602) × cos(-0.88539683) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.632982338948803 × 6371000     		du = 386.658198560708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88533614)-sin(-0.88539683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633029321931819-0.632982338948803)×R²
    abs(-0.38742602--0.38752190)×4.69829830161972e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69829830161972e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69829830161972e-05×40589641000000     		ar = 149509.257042891m²