Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28725 / 43535
↖ ↑ ↗
← S 50.788575°
W 22.208862°		 ← 386.13 m → S 50.788575°
W 22.203369°		 →
↑
386.15 m
↓
↑
386.15 m
↓
S 50.792047°
W 22.208862°		 ← 386.10 m →
149 097 m²		 S 50.792047°
W 22.203369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438316345214844 y=0.664299011230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438316345214844 × 216)
    floor (0.438316345214844 × 65536)
    floor (28725.5)     		tx = 28725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664299011230469 × 216)
    floor (0.664299011230469 × 65536)
    floor (43535.5)     		ty = 43535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28725 / 43535 ti = "16/28725/43535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28725/43535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28725 ÷ 216
    28725 ÷ 65536     		x = 0.438308715820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43535 ÷ 216
    43535 ÷ 65536     		y = 0.664291381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438308715820312 × 2 - 1) × π
    -0.123382568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38761777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664291381835938 × 2 - 1) × π
    -0.328582763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03227319641829
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38761777} λ = -0.38761777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03227319641829))-π/2
    2×atan(0.356196335329343)-π/2
    2×0.342184239662777-π/2
    0.684368479325554-1.57079632675     		φ = -0.88642785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38761777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.208862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88642785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.788575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28725 KachelY 43535 -0.38761777 -0.88642785 -22.208862 -50.788575
    Oben rechts KachelX + 1 28726 KachelY 43535 -0.38752190 -0.88642785 -22.203369 -50.788575
    Unten links KachelX 28725 KachelY + 1 43536 -0.38761777 -0.88648846 -22.208862 -50.792047
    Unten rechts KachelX + 1 28726 KachelY + 1 43536 -0.38752190 -0.88648846 -22.203369 -50.792047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88642785--0.88648846) × R
    6.06100000000165e-05 × 6371000     		dl = 386.146310000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88642785--0.88648846) × R
    6.06100000000165e-05 × 6371000     		dr = 386.146310000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38761777--0.38752190) × cos(-0.88642785) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.632183821788368 × 6371000     		do = 386.130146740186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38761777--0.38752190) × cos(-0.88648846) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.632136858881542 × 6371000     		du = 386.101462371053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88642785)-sin(-0.88648846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632183821788368-0.632136858881542)×R²
    abs(-0.38752190--0.38761777)×4.69629068258204e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69629068258204e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69629068258204e-05×40589641000000     		ar = 149097.193207724m²