Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28725 / 43531
↖ ↑ ↗
← S 50.774682°
W 22.208862°		 ← 386.24 m → S 50.774682°
W 22.203369°		 →
↑
386.27 m
↓
↑
386.27 m
↓
S 50.778155°
W 22.208862°		 ← 386.22 m →
149 191 m²		 S 50.778155°
W 22.203369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438316345214844 y=0.664237976074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438316345214844 × 216)
    floor (0.438316345214844 × 65536)
    floor (28725.5)     		tx = 28725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664237976074219 × 216)
    floor (0.664237976074219 × 65536)
    floor (43531.5)     		ty = 43531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28725 / 43531 ti = "16/28725/43531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28725/43531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28725 ÷ 216
    28725 ÷ 65536     		x = 0.438308715820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43531 ÷ 216
    43531 ÷ 65536     		y = 0.664230346679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438308715820312 × 2 - 1) × π
    -0.123382568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38761777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664230346679688 × 2 - 1) × π
    -0.328460693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03188970122133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38761777} λ = -0.38761777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03188970122133))-π/2
    2×atan(0.356332961109108)-π/2
    2×0.342305477402938-π/2
    0.684610954805877-1.57079632675     		φ = -0.88618537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38761777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.208862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88618537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.774682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28725 KachelY 43531 -0.38761777 -0.88618537 -22.208862 -50.774682
    Oben rechts KachelX + 1 28726 KachelY 43531 -0.38752190 -0.88618537 -22.203369 -50.774682
    Unten links KachelX 28725 KachelY + 1 43532 -0.38761777 -0.88624600 -22.208862 -50.778155
    Unten rechts KachelX + 1 28726 KachelY + 1 43532 -0.38752190 -0.88624600 -22.203369 -50.778155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88618537--0.88624600) × R
    6.0630000000006e-05 × 6371000     		dl = 386.273730000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88618537--0.88624600) × R
    6.0630000000006e-05 × 6371000     		dr = 386.273730000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38761777--0.38752190) × cos(-0.88618537) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.632371681176823 × 6371000     		do = 386.244888957134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38761777--0.38752190) × cos(-0.88624600) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.632324712067988 × 6371000     		du = 386.21620079989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88618537)-sin(-0.88624600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632371681176823-0.632324712067988)×R²
    abs(-0.38752190--0.38761777)×4.6969108835504e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6969108835504e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6969108835504e-05×40589641000000     		ar = 149190.713256113m²