Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28723 / 42355
↖ ↑ ↗
← S 46.509735°
W 22.219849°		 ← 420.41 m → S 46.509735°
W 22.214355°		 →
↑
420.36 m
↓
↑
420.36 m
↓
S 46.513515°
W 22.219849°		 ← 420.38 m →
176 716 m²		 S 46.513515°
W 22.214355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438285827636719 y=0.646293640136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438285827636719 × 216)
    floor (0.438285827636719 × 65536)
    floor (28723.5)     		tx = 28723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646293640136719 × 216)
    floor (0.646293640136719 × 65536)
    floor (42355.5)     		ty = 42355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28723 / 42355 ti = "16/28723/42355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28723/42355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28723 ÷ 216
    28723 ÷ 65536     		x = 0.438278198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42355 ÷ 216
    42355 ÷ 65536     		y = 0.646286010742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438278198242188 × 2 - 1) × π
    -0.123443603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38780952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646286010742188 × 2 - 1) × π
    -0.292572021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.919142113314957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38780952} λ = -0.38780952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.919142113314957))-π/2
    2×atan(0.398861071954484)-π/2
    2×0.379524157155127-π/2
    0.759048314310255-1.57079632675     		φ = -0.81174801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38780952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.219849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81174801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.509735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28723 KachelY 42355 -0.38780952 -0.81174801 -22.219849 -46.509735
    Oben rechts KachelX + 1 28724 KachelY 42355 -0.38771364 -0.81174801 -22.214355 -46.509735
    Unten links KachelX 28723 KachelY + 1 42356 -0.38780952 -0.81181399 -22.219849 -46.513515
    Unten rechts KachelX + 1 28724 KachelY + 1 42356 -0.38771364 -0.81181399 -22.214355 -46.513515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81174801--0.81181399) × R
    6.5980000000021e-05 × 6371000     		dl = 420.358580000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81174801--0.81181399) × R
    6.5980000000021e-05 × 6371000     		dr = 420.358580000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38780952--0.38771364) × cos(-0.81174801) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.688231318978432 × 6371000     		do = 420.407119780295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38780952--0.38771364) × cos(-0.81181399) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.688183449563287 × 6371000     		du = 420.377878677207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81174801)-sin(-0.81181399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688231318978432-0.688183449563287)×R²
    abs(-0.38771364--0.38780952)×4.78694151447856e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78694151447856e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78694151447856e-05×40589641000000     		ar = 176715.594082741m²