Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28723 / 21201
↖ ↑ ↗
← N 53.484777°
W 22.219849°		 ← 363.48 m → N 53.484777°
W 22.214355°		 →
↑
363.47 m
↓
↑
363.47 m
↓
N 53.481508°
W 22.219849°		 ← 363.51 m →
132 117 m²		 N 53.481508°
W 22.214355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438285827636719 y=0.323509216308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438285827636719 × 216)
    floor (0.438285827636719 × 65536)
    floor (28723.5)     		tx = 28723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323509216308594 × 216)
    floor (0.323509216308594 × 65536)
    floor (21201.5)     		ty = 21201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28723 / 21201 ti = "16/28723/21201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28723/21201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28723 ÷ 216
    28723 ÷ 65536     		x = 0.438278198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21201 ÷ 216
    21201 ÷ 65536     		y = 0.323501586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438278198242188 × 2 - 1) × π
    -0.123443603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38780952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323501586914062 × 2 - 1) × π
    0.352996826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10897223581038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38780952} λ = -0.38780952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10897223581038))-π/2
    2×atan(3.03124139158573)-π/2
    2×1.25214089281991-π/2
    2.50428178563983-1.57079632675     		φ = 0.93348546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38780952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.219849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93348546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.484777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28723 KachelY 21201 -0.38780952 0.93348546 -22.219849 53.484777
    Oben rechts KachelX + 1 28724 KachelY 21201 -0.38771364 0.93348546 -22.214355 53.484777
    Unten links KachelX 28723 KachelY + 1 21202 -0.38780952 0.93342841 -22.219849 53.481508
    Unten rechts KachelX + 1 28724 KachelY + 1 21202 -0.38771364 0.93342841 -22.214355 53.481508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93348546-0.93342841) × R
    5.70500000000029e-05 × 6371000     		dl = 363.465550000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93348546-0.93342841) × R
    5.70500000000029e-05 × 6371000     		dr = 363.465550000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38780952--0.38771364) × cos(0.93348546) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.595036342336402 × 6371000     		do = 363.47883036995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38780952--0.38771364) × cos(0.93342841) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.595082192384235 × 6371000     		du = 363.506837939527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93348546)-sin(0.93342841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595036342336402-0.595082192384235)×R²
    abs(-0.38771364--0.38780952)×4.58500478334178e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.58500478334178e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.58500478334178e-05×40589641000000     		ar = 132117.122923117m²