Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28721 / 43534
↖ ↑ ↗
← S 50.785102°
W 22.230835°		 ← 386.20 m → S 50.785102°
W 22.225342°		 →
↑
386.15 m
↓
↑
386.15 m
↓
S 50.788575°
W 22.230835°		 ← 386.17 m →
149 124 m²		 S 50.788575°
W 22.225342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438255310058594 y=0.664283752441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438255310058594 × 216)
    floor (0.438255310058594 × 65536)
    floor (28721.5)     		tx = 28721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664283752441406 × 216)
    floor (0.664283752441406 × 65536)
    floor (43534.5)     		ty = 43534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28721 / 43534 ti = "16/28721/43534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28721/43534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28721 ÷ 216
    28721 ÷ 65536     		x = 0.438247680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43534 ÷ 216
    43534 ÷ 65536     		y = 0.664276123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438247680664062 × 2 - 1) × π
    -0.123504638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38800127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664276123046875 × 2 - 1) × π
    -0.32855224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03217732261905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38800127} λ = -0.38800127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03217732261905))-π/2
    2×atan(0.356230486862379)-π/2
    2×0.342214545720884-π/2
    0.684429091441769-1.57079632675     		φ = -0.88636724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38800127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.230835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88636724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.785102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28721 KachelY 43534 -0.38800127 -0.88636724 -22.230835 -50.785102
    Oben rechts KachelX + 1 28722 KachelY 43534 -0.38790539 -0.88636724 -22.225342 -50.785102
    Unten links KachelX 28721 KachelY + 1 43535 -0.38800127 -0.88642785 -22.230835 -50.788575
    Unten rechts KachelX + 1 28722 KachelY + 1 43535 -0.38790539 -0.88642785 -22.225342 -50.788575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88636724--0.88642785) × R
    6.06100000000165e-05 × 6371000     		dl = 386.146310000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88636724--0.88642785) × R
    6.06100000000165e-05 × 6371000     		dr = 386.146310000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38800127--0.38790539) × cos(-0.88636724) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.632230782372821 × 6371000     		do = 386.199109113966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38800127--0.38790539) × cos(-0.88642785) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.632183821788368 × 6371000     		du = 386.170423171451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88636724)-sin(-0.88642785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632230782372821-0.632183821788368)×R²
    abs(-0.38790539--0.38800127)×4.69605844529708e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69605844529708e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69605844529708e-05×40589641000000     		ar = 149123.822470013m²