Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2872 / 5928
↖ ↑ ↗
← S 62.431074°
W 53.789062°		 ← 2 261.54 m → S 62.431074°
W 53.745117°		 →
↑
2 260.81 m
↓
↑
2 260.81 m
↓
S 62.451406°
W 53.789062°		 ← 2 260.01 m →
5 111 191 m²		 S 62.451406°
W 53.745117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.35064697265625 y=0.72369384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.35064697265625 × 213)
    floor (0.35064697265625 × 8192)
    floor (2872.5)     		tx = 2872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72369384765625 × 213)
    floor (0.72369384765625 × 8192)
    floor (5928.5)     		ty = 5928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2872 / 5928 ti = "13/2872/5928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2872/5928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2872 ÷ 213
    2872 ÷ 8192     		x = 0.3505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5928 ÷ 213
    5928 ÷ 8192     		y = 0.7236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3505859375 × 2 - 1) × π
    -0.298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.93879624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7236328125 × 2 - 1) × π
    -0.447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40512640166309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93879624} λ = -0.93879624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40512640166309))-π/2
    2×atan(0.245336043609003)-π/2
    2×0.24058426294601-π/2
    0.481168525892021-1.57079632675     		φ = -1.08962780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93879624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.789062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08962780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.431074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2872 KachelY 5928 -0.93879624 -1.08962780 -53.789062 -62.431074
    Oben rechts KachelX + 1 2873 KachelY 5928 -0.93802925 -1.08962780 -53.745117 -62.431074
    Unten links KachelX 2872 KachelY + 1 5929 -0.93879624 -1.08998266 -53.789062 -62.451406
    Unten rechts KachelX + 1 2873 KachelY + 1 5929 -0.93802925 -1.08998266 -53.745117 -62.451406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08962780--1.08998266) × R
    0.000354860000000068 × 6371000     		dl = 2260.81306000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08962780--1.08998266) × R
    0.000354860000000068 × 6371000     		dr = 2260.81306000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93879624--0.93802925) × cos(-1.08962780) × R
    0.000766989999999912 × 0.462815337370534 × 6371000     		do = 2261.54404056994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93879624--0.93802925) × cos(-1.08998266) × R
    0.000766989999999912 × 0.462500740916468 × 6371000     		du = 2260.00676710809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08962780)-sin(-1.08998266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462815337370534-0.462500740916468)×R²
    abs(-0.93802925--0.93879624)×0.000314596454066729×R²
    0.000766989999999912×0.000314596454066729×6371000²
    0.000766989999999912×0.000314596454066729×40589641000000     		ar = 5111190.61236425m²