Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28718 / 28371
↖ ↑ ↗
← N 70.885187°
W101.123657°		 ← 100.02 m → N 70.885187°
W101.120910°		 →
↑
99.96 m
↓
↑
99.96 m
↓
N 70.884288°
W101.123657°		 ← 100.02 m →
9 998 m²		 N 70.884288°
W101.120910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219104766845703 y=0.216457366943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219104766845703 × 217)
    floor (0.219104766845703 × 131072)
    floor (28718.5)     		tx = 28718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216457366943359 × 217)
    floor (0.216457366943359 × 131072)
    floor (28371.5)     		ty = 28371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28718 / 28371 ti = "17/28718/28371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28718/28371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28718 ÷ 217
    28718 ÷ 131072     		x = 0.219100952148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28371 ÷ 217
    28371 ÷ 131072     		y = 0.216453552246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219100952148438 × 2 - 1) × π
    -0.561798095703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.76494077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216453552246094 × 2 - 1) × π
    0.567092895507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.78157487437939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76494077} λ = -1.76494077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78157487437939))-π/2
    2×atan(5.93920255510198)-π/2
    2×1.40398811528074-π/2
    2.80797623056147-1.57079632675     		φ = 1.23717990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76494077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.123657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23717990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.885187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28718 KachelY 28371 -1.76494077 1.23717990 -101.123657 70.885187
    Oben rechts KachelX + 1 28719 KachelY 28371 -1.76489283 1.23717990 -101.120910 70.885187
    Unten links KachelX 28718 KachelY + 1 28372 -1.76494077 1.23716421 -101.123657 70.884288
    Unten rechts KachelX + 1 28719 KachelY + 1 28372 -1.76489283 1.23716421 -101.120910 70.884288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23717990-1.23716421) × R
    1.56900000001237e-05 × 6371000     		dl = 99.9609900007878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23717990-1.23716421) × R
    1.56900000001237e-05 × 6371000     		dr = 99.9609900007878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76494077--1.76489283) × cos(1.23717990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327462194814536 × 6371000     		do = 100.015383173188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76494077--1.76489283) × cos(1.23716421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32747701969481 × 6371000     		du = 100.019911073216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23717990)-sin(1.23716421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327462194814536-0.32747701969481)×R²
    abs(-1.76489283--1.76494077)×1.48248802738227e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48248802738227e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48248802738227e-05×40589641000000     		ar = 9997.86302414676m²