Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28717 / 42363
↖ ↑ ↗
← S 46.539971°
W 22.252808°		 ← 420.13 m → S 46.539971°
W 22.247315°		 →
↑
420.17 m
↓
↑
420.17 m
↓
S 46.543750°
W 22.252808°		 ← 420.10 m →
176 519 m²		 S 46.543750°
W 22.247315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438194274902344 y=0.646415710449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438194274902344 × 216)
    floor (0.438194274902344 × 65536)
    floor (28717.5)     		tx = 28717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646415710449219 × 216)
    floor (0.646415710449219 × 65536)
    floor (42363.5)     		ty = 42363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28717 / 42363 ti = "16/28717/42363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28717/42363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28717 ÷ 216
    28717 ÷ 65536     		x = 0.438186645507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42363 ÷ 216
    42363 ÷ 65536     		y = 0.646408081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438186645507812 × 2 - 1) × π
    -0.123626708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38838476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646408081054688 × 2 - 1) × π
    -0.292816162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.919909103708878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38838476} λ = -0.38838476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.919909103708878))-π/2
    2×atan(0.398555266633649)-π/2
    2×0.379260297181418-π/2
    0.758520594362836-1.57079632675     		φ = -0.81227573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38838476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.252808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81227573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.539971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28717 KachelY 42363 -0.38838476 -0.81227573 -22.252808 -46.539971
    Oben rechts KachelX + 1 28718 KachelY 42363 -0.38828889 -0.81227573 -22.247315 -46.539971
    Unten links KachelX 28717 KachelY + 1 42364 -0.38838476 -0.81234168 -22.252808 -46.543750
    Unten rechts KachelX + 1 28718 KachelY + 1 42364 -0.38828889 -0.81234168 -22.247315 -46.543750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81227573--0.81234168) × R
    6.59499999999813e-05 × 6371000     		dl = 420.167449999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81227573--0.81234168) × R
    6.59499999999813e-05 × 6371000     		dr = 420.167449999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38838476--0.38828889) × cos(-0.81227573) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687848366885984 × 6371000     		do = 420.129370108423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38838476--0.38828889) × cos(-0.81234168) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.68780049529183 × 6371000     		du = 420.100130724183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81227573)-sin(-0.81234168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687848366885984-0.68780049529183)×R²
    abs(-0.38828889--0.38838476)×4.78715941538699e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78715941538699e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78715941538699e-05×40589641000000     		ar = 176518.543453647m²