Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28717 / 40469
↖ ↑ ↗
← S 38.912407°
W 22.252808°		 ← 475.26 m → S 38.912407°
W 22.247315°		 →
↑
475.28 m
↓
↑
475.28 m
↓
S 38.916682°
W 22.252808°		 ← 475.23 m →
225 872 m²		 S 38.916682°
W 22.247315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438194274902344 y=0.617515563964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438194274902344 × 216)
    floor (0.438194274902344 × 65536)
    floor (28717.5)     		tx = 28717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617515563964844 × 216)
    floor (0.617515563964844 × 65536)
    floor (40469.5)     		ty = 40469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28717 / 40469 ti = "16/28717/40469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28717/40469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28717 ÷ 216
    28717 ÷ 65536     		x = 0.438186645507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40469 ÷ 216
    40469 ÷ 65536     		y = 0.617507934570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438186645507812 × 2 - 1) × π
    -0.123626708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38838476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617507934570312 × 2 - 1) × π
    -0.235015869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.738324127948105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38838476} λ = -0.38838476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.738324127948105))-π/2
    2×atan(0.477914167770521)-π/2
    2×0.445823348946704-π/2
    0.891646697893407-1.57079632675     		φ = -0.67914963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38838476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.252808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67914963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.912407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28717 KachelY 40469 -0.38838476 -0.67914963 -22.252808 -38.912407
    Oben rechts KachelX + 1 28718 KachelY 40469 -0.38828889 -0.67914963 -22.247315 -38.912407
    Unten links KachelX 28717 KachelY + 1 40470 -0.38838476 -0.67922423 -22.252808 -38.916682
    Unten rechts KachelX + 1 28718 KachelY + 1 40470 -0.38828889 -0.67922423 -22.247315 -38.916682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67914963--0.67922423) × R
    7.46000000000357e-05 × 6371000     		dl = 475.276600000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67914963--0.67922423) × R
    7.46000000000357e-05 × 6371000     		dr = 475.276600000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38838476--0.38828889) × cos(-0.67914963) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.778107144267591 × 6371000     		do = 475.25832746826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38838476--0.38828889) × cos(-0.67922423) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.778060283487201 × 6371000     		du = 475.229705476705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67914963)-sin(-0.67922423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778107144267591-0.778060283487201)×R²
    abs(-0.38828889--0.38838476)×4.68607803907339e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68607803907339e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68607803907339e-05×40589641000000     		ar = 225872.360424329m²