Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28717 / 21193
↖ ↑ ↗
← N 53.510918°
W 22.252808°		 ← 363.22 m → N 53.510918°
W 22.247315°		 →
↑
363.27 m
↓
↑
363.27 m
↓
N 53.507651°
W 22.252808°		 ← 363.24 m →
131 952 m²		 N 53.507651°
W 22.247315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438194274902344 y=0.323387145996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438194274902344 × 216)
    floor (0.438194274902344 × 65536)
    floor (28717.5)     		tx = 28717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323387145996094 × 216)
    floor (0.323387145996094 × 65536)
    floor (21193.5)     		ty = 21193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28717 / 21193 ti = "16/28717/21193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28717/21193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28717 ÷ 216
    28717 ÷ 65536     		x = 0.438186645507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21193 ÷ 216
    21193 ÷ 65536     		y = 0.323379516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438186645507812 × 2 - 1) × π
    -0.123626708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38838476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323379516601562 × 2 - 1) × π
    0.353240966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1097392262043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38838476} λ = -0.38838476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1097392262043))-π/2
    2×atan(3.03356721644337)-π/2
    2×1.25236901607351-π/2
    2.50473803214701-1.57079632675     		φ = 0.93394171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38838476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.252808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93394171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.510918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28717 KachelY 21193 -0.38838476 0.93394171 -22.252808 53.510918
    Oben rechts KachelX + 1 28718 KachelY 21193 -0.38828889 0.93394171 -22.247315 53.510918
    Unten links KachelX 28717 KachelY + 1 21194 -0.38838476 0.93388469 -22.252808 53.507651
    Unten rechts KachelX + 1 28718 KachelY + 1 21194 -0.38828889 0.93388469 -22.247315 53.507651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93394171-0.93388469) × R
    5.70200000000742e-05 × 6371000     		dl = 363.274420000473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93394171-0.93388469) × R
    5.70200000000742e-05 × 6371000     		dr = 363.274420000473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38838476--0.38828889) × cos(0.93394171) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.594669592841822 × 6371000     		do = 363.216914498656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38838476--0.38828889) × cos(0.93388469) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.594715434255629 × 6371000     		du = 363.244913873569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93394171)-sin(0.93388469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594669592841822-0.594715434255629)×R²
    abs(-0.38828889--0.38838476)×4.58414138072571e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58414138072571e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58414138072571e-05×40589641000000     		ar = 131952.499712907m²