Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28717 / 20521
↖ ↑ ↗
← N 76.815156°
W101.126404°		 ← 69.67 m → N 76.815156°
W101.123657°		 →
↑
69.70 m
↓
↑
69.70 m
↓
N 76.814529°
W101.126404°		 ← 69.67 m →
4 856 m²		 N 76.814529°
W101.123657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219097137451172 y=0.156566619873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219097137451172 × 217)
    floor (0.219097137451172 × 131072)
    floor (28717.5)     		tx = 28717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156566619873047 × 217)
    floor (0.156566619873047 × 131072)
    floor (20521.5)     		ty = 20521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28717 / 20521 ti = "17/28717/20521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28717/20521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28717 ÷ 217
    28717 ÷ 131072     		x = 0.219093322753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20521 ÷ 217
    20521 ÷ 131072     		y = 0.156562805175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219093322753906 × 2 - 1) × π
    -0.561813354492188 × 3.1415926535     		Λ = -1.76498871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156562805175781 × 2 - 1) × π
    0.686874389648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.15787953639683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76498871} λ = -1.76498871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15787953639683))-π/2
    2×atan(8.65277030719271)-π/2
    2×1.45573685210967-π/2
    2.91147370421934-1.57079632675     		φ = 1.34067738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76498871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.126404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34067738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.815156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28717 KachelY 20521 -1.76498871 1.34067738 -101.126404 76.815156
    Oben rechts KachelX + 1 28718 KachelY 20521 -1.76494077 1.34067738 -101.123657 76.815156
    Unten links KachelX 28717 KachelY + 1 20522 -1.76498871 1.34066644 -101.126404 76.814529
    Unten rechts KachelX + 1 28718 KachelY + 1 20522 -1.76494077 1.34066644 -101.123657 76.814529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34067738-1.34066644) × R
    1.09400000001258e-05 × 6371000     		dl = 69.6987400008018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34067738-1.34066644) × R
    1.09400000001258e-05 × 6371000     		dr = 69.6987400008018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76498871--1.76494077) × cos(1.34067738) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228093336419148 × 6371000     		do = 69.6655760648415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76498871--1.76494077) × cos(1.34066644) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228103988019122 × 6371000     		du = 69.6688293376459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34067738)-sin(1.34066644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228093336419148-0.228103988019122)×R²
    abs(-1.76494077--1.76498871)×1.06515999742929e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06515999742929e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06515999742929e-05×40589641000000     		ar = 4855.71624764387m²