Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28716 / 9130
↖ ↑ ↗
← N 78.159316°
W 22.258301°		 ← 125.33 m → N 78.159316°
W 22.252808°		 →
↑
125.38 m
↓
↑
125.38 m
↓
N 78.158189°
W 22.258301°		 ← 125.34 m →
15 715 m²		 N 78.158189°
W 22.252808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438179016113281 y=0.139320373535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438179016113281 × 216)
    floor (0.438179016113281 × 65536)
    floor (28716.5)     		tx = 28716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139320373535156 × 216)
    floor (0.139320373535156 × 65536)
    floor (9130.5)     		ty = 9130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28716 / 9130 ti = "16/28716/9130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28716/9130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28716 ÷ 216
    28716 ÷ 65536     		x = 0.43817138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9130 ÷ 216
    9130 ÷ 65536     		y = 0.139312744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43817138671875 × 2 - 1) × π
    -0.1236572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38848063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139312744140625 × 2 - 1) × π
    0.72137451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26626486643777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38848063} λ = -0.38848063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26626486643777))-π/2
    2×atan(9.64331439498164)-π/2
    2×1.46746686652127-π/2
    2.93493373304254-1.57079632675     		φ = 1.36413741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38848063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.258301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36413741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.159316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28716 KachelY 9130 -0.38848063 1.36413741 -22.258301 78.159316
    Oben rechts KachelX + 1 28717 KachelY 9130 -0.38838476 1.36413741 -22.252808 78.159316
    Unten links KachelX 28716 KachelY + 1 9131 -0.38848063 1.36411773 -22.258301 78.158189
    Unten rechts KachelX + 1 28717 KachelY + 1 9131 -0.38838476 1.36411773 -22.252808 78.158189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36413741-1.36411773) × R
    1.96800000000774e-05 × 6371000     		dl = 125.381280000493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36413741-1.36411773) × R
    1.96800000000774e-05 × 6371000     		dr = 125.381280000493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38848063--0.38838476) × cos(1.36413741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.205191059761417 × 6371000     		do = 125.32818981561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38848063--0.38838476) × cos(1.36411773) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20521032096939 × 6371000     		du = 125.339954325875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36413741)-sin(1.36411773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205191059761417-0.20521032096939)×R²
    abs(-0.38838476--0.38848063)×1.9261207973742e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.9261207973742e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.9261207973742e-05×40589641000000     		ar = 15714.546384306m²