Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28716 / 43579
↖ ↑ ↗
← S 50.941123°
W 22.258301°		 ← 384.87 m → S 50.941123°
W 22.252808°		 →
↑
384.87 m
↓
↑
384.87 m
↓
S 50.944584°
W 22.258301°		 ← 384.84 m →
148 120 m²		 S 50.944584°
W 22.252808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438179016113281 y=0.664970397949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438179016113281 × 216)
    floor (0.438179016113281 × 65536)
    floor (28716.5)     		tx = 28716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664970397949219 × 216)
    floor (0.664970397949219 × 65536)
    floor (43579.5)     		ty = 43579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28716 / 43579 ti = "16/28716/43579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28716/43579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28716 ÷ 216
    28716 ÷ 65536     		x = 0.43817138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43579 ÷ 216
    43579 ÷ 65536     		y = 0.664962768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43817138671875 × 2 - 1) × π
    -0.1236572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38848063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664962768554688 × 2 - 1) × π
    -0.329925537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03649164358485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38848063} λ = -0.38848063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03649164358485))-π/2
    2×atan(0.354696904765706)-π/2
    2×0.340853000991794-π/2
    0.681706001983587-1.57079632675     		φ = -0.88909032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38848063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.258301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88909032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.941123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28716 KachelY 43579 -0.38848063 -0.88909032 -22.258301 -50.941123
    Oben rechts KachelX + 1 28717 KachelY 43579 -0.38838476 -0.88909032 -22.252808 -50.941123
    Unten links KachelX 28716 KachelY + 1 43580 -0.38848063 -0.88915073 -22.258301 -50.944584
    Unten rechts KachelX + 1 28717 KachelY + 1 43580 -0.38838476 -0.88915073 -22.252808 -50.944584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88909032--0.88915073) × R
    6.04100000000107e-05 × 6371000     		dl = 384.872110000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88909032--0.88915073) × R
    6.04100000000107e-05 × 6371000     		dr = 384.872110000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38848063--0.38838476) × cos(-0.88909032) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630118652678714 × 6371000     		do = 384.868766705028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38848063--0.38838476) × cos(-0.88915073) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630071743232689 × 6371000     		du = 384.840114989098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88909032)-sin(-0.88915073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630118652678714-0.630071743232689)×R²
    abs(-0.38838476--0.38848063)×4.69094460258113e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69094460258113e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69094460258113e-05×40589641000000     		ar = 148119.740736394m²