Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28712 / 40542
↖ ↑ ↗
← S 39.223743°
W 22.280273°		 ← 473.17 m → S 39.223743°
W 22.274781°		 →
↑
473.17 m
↓
↑
473.17 m
↓
S 39.227998°
W 22.280273°		 ← 473.14 m →
223 883 m²		 S 39.227998°
W 22.274781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438117980957031 y=0.618629455566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438117980957031 × 216)
    floor (0.438117980957031 × 65536)
    floor (28712.5)     		tx = 28712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618629455566406 × 216)
    floor (0.618629455566406 × 65536)
    floor (40542.5)     		ty = 40542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28712 / 40542 ti = "16/28712/40542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28712/40542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28712 ÷ 216
    28712 ÷ 65536     		x = 0.4381103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40542 ÷ 216
    40542 ÷ 65536     		y = 0.618621826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4381103515625 × 2 - 1) × π
    -0.123779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38886413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618621826171875 × 2 - 1) × π
    -0.23724365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.745322915292633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38886413} λ = -0.38886413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.745322915292633))-π/2
    2×atan(0.474581025723151)-π/2
    2×0.443106435509447-π/2
    0.886212871018895-1.57079632675     		φ = -0.68458346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38886413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.280273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68458346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.223743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28712 KachelY 40542 -0.38886413 -0.68458346 -22.280273 -39.223743
    Oben rechts KachelX + 1 28713 KachelY 40542 -0.38876826 -0.68458346 -22.274781 -39.223743
    Unten links KachelX 28712 KachelY + 1 40543 -0.38886413 -0.68465773 -22.280273 -39.227998
    Unten rechts KachelX + 1 28713 KachelY + 1 40543 -0.38876826 -0.68465773 -22.274781 -39.227998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68458346--0.68465773) × R
    7.42699999999319e-05 × 6371000     		dl = 473.174169999566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68458346--0.68465773) × R
    7.42699999999319e-05 × 6371000     		dr = 473.174169999566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38886413--0.38876826) × cos(-0.68458346) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.774682513517526 × 6371000     		do = 473.166604889354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38886413--0.38876826) × cos(-0.68465773) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.77463554671825 × 6371000     		du = 473.13791814276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68458346)-sin(-0.68465773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774682513517526-0.77463554671825)×R²
    abs(-0.38876826--0.38886413)×4.69667992760714e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69667992760714e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69667992760714e-05×40589641000000     		ar = 223883.428729122m²